全射と単射

カテゴリ：集合と論理

写像にはいくつか特殊な写像があります。

それが全射と単射と呼ばれる写像です。

ここでは、これらの写像の定義と解説を行います。

全射

はじめに全射について解説します。

集合 $A$ から $B$ への写像 $f$ を考えます。

一般に

　 $f(A)\subset B$

ですが、もし

　 $f(A)=B$

となる場合、 $f$ を $A$ から $B$ への全射(ぜんしゃ)といいます。

例えば、

　 $A=\{1,2,3\},B=\{2,4,6\},f(x)=2x$

とすれば

　 $f(A)=\{2,4,6\}=B$

となるので $f$ は $A$ から $B$ への全射となります。

全てを射抜くから全射というのです。

単射

さて、次に単射について説明します。

任意の二つの集合 $A$ の要素を $a,a^{\prime}\in A$ とします。この際

　 $f(a)=f(a^{\prime})\Rightarrow a=a^{\prime}$

となるとき $f$ を $A$ から $B$ への単射(たんしゃ)といいます。

射抜くのはただ一つだから単射というんですね。

例としては先ほどの

　 $A=\{1,2,3\},B=\{2,4,6\},f(x)=2x$

は単射です。なぜならば

　 $2\in B$

を射抜く $f(a)$ は $f(1)$ しかないからです。同様に $4,6\in B$ も一つしかありません。

よって単射です。

　 $A=\{1,2,3\},B=\{2,4,6\},f(x)=2$

は単射ではありません。なぜなら

　 $2\in B$

を射抜く要素は $1,2,3$ と３つあるからです。

最後に

全射と単射の両方が成り立つ写像を全単射と呼びます。

写像が出てきたら全射か単射かどうかを意識するといいと思います。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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