「すべて」と「ある」

カテゴリ：集合と論理

数学では「すべて」や「ある」という論理をよく使います。

ここではこれらの用語について解説します。

「すべて」と「ある」

数学ではよく「すべて」とか「ある」とかの条件を使います。

以下にこれら用語の定義を述べます。

すべて・ある

ある集合 $A$ のすべての要素に対して条件 $p$ が成り立つとき

　 $\forall a\in A, p$

と表記する。また、集合 $A$ のある要素に対して条件 $p$ が成り立つとき

　 $\exists a\in A, p$

と表す。

例1)

　 $\forall x\in\mathbb{R},x^{2}>0$

は「すべての実数 $x$ に対して、 $x^{2}>0$ が成り立つ」という意味です。

この場合、 $x=0$ の場合が成り立たないので偽となります。

例2)

一方、

　 $\exists x\in\mathbb{R},x^{2}>0$

は「ある実数 $x$ に対して、 $x^{2}>0$ が成り立つ」という意味です。

この場合、 $x=1$ のとき、 $x^{2}=1>0$ が成り立つので真となります。

否定

「すべて」と「ある」の否定は以下のようになります。

否定

$\forall x\in X,p$ の否定は $\exists x\in X,\bar{p}$
$\exists x\in X,p$ の否定は $\forall x\in X,\bar{p}$

ただ、「すべて」と「ある」をひっくり返して、条件を否定するだけです。

(1)

命題は、 $p$ が成り立つ $X$ の部分集合を $P$ とすれば

　 $X=P$

となります。この否定なので

　 $X\neq P$

となります。よって、 $P$ に属さない $X$ の要素 $p$ があるということになります。

よって、

　 $\exists x\in X, \bar{p}$

が否定として得られます。

(2)

命題「 $\exists x\in X,p$ 」は

　 $P\neq \phi$

を表しています。よって、この否定は

　 $P=\phi$

となります。つまり、 $P$ に属する $x\in X$ はないことを意味します。よって、

　 $\forall x\in X,\bar{p}$

が否定となります。

以下の命題の否定と真偽を調べよ。

「 $\exists n\in\mathbb{N},n^{2}-2n+1=0$ 」

否定は

「 $\forall n\in\mathbb{N},n^{2}-2n+1\neq 0$ 」

となります。これは $n=1$ のとに成り立たないので偽になります。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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