ベクトルの足し算と引き算

カテゴリ：ベクトル

ベクトルも数なので足し算と引き算が存在します。

ここでは、ベクトルの足し算の定義、ゼロベクトル、引き算について解説します。

ではベクトルの足し算を以下のように定義します。

ベクトルの和

図のように二つのベクトル

　 $\vec{a}=\overrightarrow{AB},\\ \vec{b}=\overrightarrow{CD}$

があったとする。このとき、これらのベクトルの和 $\vec{a}+\vec{b}$ を

のように $\vec{a}$ の終点と $\vec{b}$ の始点をつなげたベクトルとして定義する。

ただ、矢印をつなげていくだけなので簡単ですね。

実数における引き算は

　 $3-2=3+(-2)$

のように負の数を足すと考えれば足し算と同じでした。

そこでベクトルでも負の数を導入することで、引き算を定義します。

まず、実数の負の数の性質として

　 $a+(-a)=0$

という性質がありました。ここで、ゼロが出てきます。

そこで、ベクトルにおけるゼロを以下のように定義します。

ゼロベクトル

大きさが０のベクトルをゼロベクトルとする。つまり

　 $\vec{0}=\overrightarrow{AA}$

とする。

あとは実数の性質 $a+(-a)=0$ のように負のベクトルを定義します。

負のベクトル

負のベクトルを

　 $\overrightarrow{AB}+(-\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{AA}$

となる $-\overrightarrow{AB}$ として定義する。また、上記の式を

　 $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AA}$

と省略してかくことがある。

上記のような負のベクトルは何かと考えてみます。すると

　 $-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}$

であれば

　 $\overrightarrow{AB}+(-\overrightarrow{AB})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}$

が成り立つことがわかります。

よって、

負のベクトル

　 $-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}$

がなり立ちます。

つまり、負のベクトルとは方向を180°変えたベクトルであることがわかります。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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