ベクトル関数の面積分

カテゴリ：ベクトル解析

z=1の位置に正方形があります。z軸から光が注いできた際の正方形がつくる影の面積を計算します。

面積分

もちろん、影の面積は

　1×1=1

となることは図からわかると思います。これをベクトル関数の面積分で計算します。

　まず、正方形の面を $S$ と名付けます。そして面 $S$ を微小領域に分割していきます。ここで、面積ベクトルというベクトル $d\vec{S}$ を導入します。このベクトルは向きが微小領域の面に垂直な方向で、大きさが微小領域の面積となります。微小領域に垂直な方向は二つありますが、今回はz軸を正にとることにします。こうすると、影の面積は

　 $\displaystyle S=\int_{S}\vec{k}\cdot d\vec{S},\vec{k}=\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)$

と表せます。次に面積ベクトルをもとめると

　 $d\vec{S}=\vec{k}dxdy$

となります。よって

　 $\displaystyle S=\int_{S}\vec{k}\cdot d\vec{S}=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}\vec{k}\cdot\vec{k}dxdy=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}dxdy=1$

となります。

　続いて、半球に光がz方向から照らされた際にできる影について計算します。当然,

　 $\pi r^{2}$

となることはわかるかと思います。これを面積分で計算します。

面積分

まず、面積ベクトルを図のように原点から外側を正としてとります。すると

　 $dS=r^{2}\sin\theta d\theta d\phi$

なので

　 $d\vec{S}=r^{2}\sin\theta d\theta d\phi \frac{\vec{r}}{r}$

となります。ここで

　 $\vec{r}=\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)$

です。よって、

　 $\vec{k}\cdot d\vec{S}=zr\sin\theta d\theta d\phi$

で、

　 $z=r\cos\theta$

なので

　 $\vec{k}\cdot d\vec{S}=r^{2}\sin\theta \cos\theta d\theta d\phi$

が得られます。これを積分すれば

　 $\displaystyle\int_{S}\vec{k}\cdot d\vec{S}=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi/2}r^{2}\sin\theta \cos\theta d\theta d\phi$ ,

　 $\displaystyle=\pi r^{2}\int_{0}^{\pi/2}2\sin\theta \cos\theta d\theta$ ,

　 $\displaystyle=\pi r^{2}\int_{0}^{\pi/2}\sin 2\theta d\theta$ ,

　 $\displaystyle=\pi r^{2}\left[-\frac{1}{2}\cos 2\theta\right]_{0}^{\pi/2}$ ,

　 $=\pi r^{2}$

が得られます。

　このようにベクトル関数 $\vec{f}(x,y,z)$ と領域 $S$ に対して

　 $\displaystyle\int_{S}\vec{f}\cdot d\vec{S}$

をベクトル関数の面積分といいます。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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