一次方程式

カテゴリ：方程式

　文章問題をとく際に１次方程式を使用すると楽に問題を解けます。1次方程式で問題を整理し、１次方程式を解けば答えがでます。ここでは、この一次方程式について紹介します。

１次方程式とは

　 $2x-1=1$

となるように

未知の変数 $x$ を含み、 $x$ の次数が1となる方程式が一次方程式です。

等式の左側の式を左辺（さへん）、右側の式を右辺（うへん）といい、左辺と右辺を合わせて両辺（りょうへん）といいます。

値を代入することで方程式を解く

　では、先ほどの一次方程式 $2x-1=1$ を解いていきます。

　 $2x-1=1$

は「2倍して1を引いたら1になる数は?」と言っているにすぎません。実際に $x$ にさまざまな値を代入すると

　 $x=1$

のとき方程式が成り立つことがわかります。このようにして $x$ に様々な数を代入し続ければいいわけですが、ちょっと面倒です。しかも、いつも見つかるとは限りません。そこで、方程式のルールを学んでいきます。

方程式のルール

方程式には「0以外の同じ数を両辺に、足したり、引いたり、かけたり、割ったりしていい」というルールがあります。このルールを使えば、一次方程式を簡単に解くことができます。例えば先ほどの方程式

　 $2x-1=1$

は

　 $x=\cdots$

の形にしたいので、左辺に $x$ の項、右辺に $x$ を含まない項を集めます。そのため、左辺にある $-1$ を消去するため両辺に1を足します。すると

　 $2x-1+1=1+1\\ \Leftrightarrow 2x=2$

となります。今度は両辺を2で割って

　 $x=1$

が得られます。では、いくつか問題を解いて慣れましょう。

次の1次方程式を解け。

(1) $\displaystyle \frac{x+1}{2}=x-3$

(2) $0.2x-1.2=0.5x+1$

(3) $2(x+1)-5=2x+2$

(1)

　 $\displaystyle \frac{x+1}{2}=x-3$

　 $\Leftrightarrow x+1=2x-6$ ←両辺を2倍した

　 $\Leftrightarrow x+1-2x=-6$ ←両辺から $2x$ を引いた

　 $\Leftrightarrow -x=-6-1$ ←両辺から $1$ を引いた

　 $\Leftrightarrow x=7$ ←両辺に $-1$ をかけた

実際に

　 $\displaystyle \frac{x+1}{2}=x-3$

に代入すると正しいことが確認できます。

(2)

　 $0.2x-1.2=0.5x+1$

　 $\Leftrightarrow -0.3x-1.2=1$ ←両辺から $0.5x$ を引いた

　 $\Leftrightarrow -0.3x=2.2$ ←両辺に $1.2$ をたした

　 $\displaystyle \Leftrightarrow x=-\frac{22}{3}$ ←両辺を $-0.3$ でわった

実際に

　 $0.2x-1.2=0.5x+1$

に代入すると正しいことがわかります。

(3)

　 $2(x+1)-5=2x+2$

　 $\Leftrightarrow 2x-3=2x+2$ ←左辺を整理した

　 $\Leftrightarrow -3=2$ ←両辺から $2x$ を引いた

　 $-3$ と $2$ は等しくないので、

　 $2(x+1)-5=2x+2$

の解はありません。たぶんこんな問題は試験にはでないと思いますが…

著者：安井真人(やすい　まさと)
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