不等式

カテゴリ：方程式

　これまで、等号「=」を含む式である１次方程式の解き方を解説してきました。次に不等号「＞、＜、≧、≦」を含む式である不等式の解き方を紹介します。

不等式の性質

　１次方程式では、両辺に同じ数を足したりかけたりしてときました。これと同様にして、不等式も同じ式を足したりかけたりすれば解けそうです。そこで、両辺に数を足したりかけたりしたらどうなるかを調べます。

足したらどうなるか

いま、

　 $1<2$

という不等式があったとします。この不等式の両辺に「１」を足すと

　 $1+1<2+1\\\Leftrightarrow 2<3$

となり成り立ちそうです。また、両辺に「-1」を足すと

　 $1+(-1)<2+(-1)\\\Leftrightarrow 0<1$

となりこちらも成り立ちそうです。以上のことから、不等式 $A<B$ と実数 $a$ に対して

　 $A+a<B+a$

としていいということがわかります。不等式の両辺に実数を足したり引いたりしてもいい

かけたらどうなるか

では、 $1<2$ の両辺に2をかけたらどうなるでしょうか？

　 $1\times 2<2\times 2\Leftrightarrow 2<4$

となるので大丈夫そうです。では、「-2」をかけてみましょう。すると

　 $1\times (-2)<2\times (-2)\Leftrightarrow -2<-4$

となります。「-2>-4」なので、この操作は誤りだということになります。また、「0」をかけると

　 $1\times 0<2\times 0\Leftrightarrow 0<0$

となり誤りです。以上のことから、

正の数を両辺にかけていい
負の数をかける場合は、符号の向きを変える
0の数はかけてはいけない

ということになります。

不等式を解く

では、以下の不等式を解いてみましょう。

(1)　 $2x+1>3-x$

(2)　 $-x+1<3x-9$

(1)

　一次方程式と同じように左辺に $x$ 、右辺に定数を移行します。

　 $2x+1>3-x$

　 $\Leftrightarrow 2x+1+x>3-x+x$ 　←両辺に $x$ をたす

　 $\Leftrightarrow 3x+1>3$

　 $\Leftrightarrow 3x+1-1>3-1$ 　←両辺に $-1$ をたす

　 $\Leftrightarrow 3x>2$

　 $\displaystyle\Leftrightarrow x>\frac{2}{3}$ 　←両辺に $\displaystyle\frac{1}{3}$ をかける

(2)

同様にして、解いていきます。

　 $-x+1<3x-9$

　 $\Leftrightarrow -x+1-3x<3x-9-3x$ 　←両辺から $3x$ をひく

　 $\Leftrightarrow -4x+1<-9$

　 $\Leftrightarrow -4x+1-1<-9-1$ 　←両辺から $1$ をひく

　 $\Leftrightarrow -4x<-10$

　 $\displaystyle\Leftrightarrow x>\frac{5}{2}$ 　←両辺に $\displaystyle -\frac{1}{4}$ をかける

不等式の計算も基本的には１次方程式と同じで、負の数をかける際は符号の向きを変える点だけがちがうので、その点だけを注意しましょう。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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