因数分解

カテゴリ：数と式

　展開の逆で、括弧をつけた形にするのが因数分解です。因数分解は、展開と比べてかなり難しい作業になります。ただし、難しいといってもパターンは決まっているので、練習を繰り返せば必ずできるようになります。２次方程式でも使用するのでしっかりマスターしましょう。

因数分解のやり方

展開では括弧を外す作業をしました。因数分解は展開とは逆で括弧をつけて積の形にします。例えば、

　 $x^{2}+3x+2$

の因数分解は

　 $(x+1)(x+2)$

となります。一般に因数分解は展開より難しいです。なぜなら、展開の場合は必ず展開できますが、因数分解の場合は本当に因数分解できるかわからないからです。でも、テストででるような因数分解は簡単なので安心してください。以下の手順に従えばたいていの問題はとくことができます。

手順その一：共通因子をくくりだす

$ax+ay+az$ の場合、どの項にも $a$ という因子(共通因子)が含まれています。この場合は

　 $ax+ay+az=a(x+y+z)$

として共通因子をくくりだします。

因数分解せよ

(1) $2abc+4a^{2}b^{2}$

(2) $2(a-b)x+3(b-a)y$

(1)

共通因子は $2ab$ なので

　 $2abc+4a^{2}b^{2}=2ab(c+2ab)$

となります。

(2)

共通因子が $(a-b)$ なので

　 $2(a-b)x+3(b-a)y=2(a-b)x-3(a-b)y=(a-b)(2x-3y)$

となります。

手順二：展開の公式を使う

因数分解では展開の際に紹介した公式

$x^{2}+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$
$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$

を使用します。

例えば

　 $x^{2}+3x+2$

は

　 $x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2)$

となります。

　 $x^{2}-1$

は

　 $x^{2}-1=x^{2}-1^{2}=(x+1)(x-1)$

です。

次の式を因数分解せよ。

(1) $x^{2}+6x+9$

(2) $x^{2}-4$

(3) $(x+3)(x-5)+7$

(4) $2x^{2}y-16xy+32y$

(1)

解き方としては定数項が９と正なので

　 $(x+\ )(x+\ )$ , $(x-\ )(x-\ )$

のどちらかとわかります。この場合、 $6x$ とあるので

　 $(x+\ )(x+\ )$

であると判明します。そして、定数項が9なので

1☓9
3☓3

が候補です。ただ $6x$ とあるので

1☓9->1+9=10
3☓3->3+3=6

より3☓3となります。ゆえに

　 $x^{2}+6x+9=(x+3)(x+3)=(x+3)^{2}$

が答えです。

(2)

この場合も同様に、定数項が-4と負なので、

　 $(x+\ )(x-\ )$

と書いておきます。あとは、一次の項が0なので

4☓(-1)->4+(-1)=3
2☓(-2)->2+(-2)=0
1☓(-4)->1+(-4)=-3

より2,-2の組み合わせが正しいことがわかります。よって

　 $x^{2}-4=(x+2)(x-2)$

が得られます。

(3)

まずは、展開します。すると

　 $(x+3)(x-5)+7\\=x^{2}-2x-15+7\\=x^{2}-2x-8$

となります。定数項がマイナスなので

　 $(x+\ )(x-\ )$

とかいておきます。一次の項が-2より

2☓(-4)->2+(-4)=-2

でいいことがわかります。よって

　 $(x+3)(x-5)+7=(x+2)(x-4)$

が答えです。

(4)

まずは共通因子 $2y$ をくくりだします。

　 $2x^{2}y-16xy+32y=2y(x^{2}-8x+16)$

あとは、 $x^{2}-8x+16$ を因数分解するだけです。16と正で一次の項が-8と負なので

　 $2x^{2}y-16xy+32y=2y(x^{2}-8x+16)=2y(x-\ )(x-\ )$

となります。そして一次の項が-8より

(-4)☓(-4)->(-4)+(-4)=-8

となり

　 $2x^{2}y-16xy+32y=2y(x^{2}-8x+16)=2y(x-4)(x-4)=2y(x-4)^{2}$

が得られます。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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