平方根

カテゴリ：数と式

　二乗したら２になるような数は存在します。しかし、二乗したら２になる数を書きだそうとすると1.4142…と無限に続きます。ここではこの不思議な数である平方根について解説します。

平方根とは

　二乗したら $a$ となる数を $a$ の平方根といいます。例えば、 $4$ の平方根は $2$ となります。なぜなら、2は二乗したら4になるからです。そして、-2も4の平方根になります。というのも二乗したら4になるからです。よって、４の平方根は $\pm 2$ となります。二乗したら必ず0以上の数になるので

負の平方根はありません。

また、

ゼロの平方根はゼロだけです。

最後に平方根の記号について説明します。

平方根の表記

$a\geq 0$ とするとき、 $a$ の平方根を $\pm\sqrt{a}$ とかく。 $\sqrt{\ }$ を「るーと」と呼ぶ。

例えば、5の平方根は $\pm\sqrt{5}$ となります。

主要な平方根

以下の平方根は覚えておくと何かと便利です(必ずしも覚える必要はありませんが)。

$\sqrt{2}=1.41421356\cdots$ (一夜一夜に一見頃,ひとよひとよにひとみごろ)
$\sqrt{3}=1.7320508\cdots$ (人並みにおごれや,ひとなみにおごれや)
$\sqrt{5}=2.4360879\cdots$ (富士山麓オーム鳴く,ふじさんろくオームなく)

二乗してみればそれぞれ2,3,5に近い値になります。

平方根の比較

　 $\sqrt{3}$ と $2\sqrt{2}$ のように平方根を比較する際は二乗して比べます。これらを二乗すると

　 $\left(\sqrt{3}\right)^{2}=3\\ \left(2\sqrt{2}\right)^{2}=2^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}=4\times 2=8$

なので

　 $\sqrt{3}<2\sqrt{2}$

となります。

公式

いくつか平方根に関する公式を紹介します。

平方根の公式1

$a>0,b>0$ のとき、 $a\sqrt{b}=\sqrt{a^{2}b}$

この公式を使うと

　 $\sqrt{8}=\sqrt{2^{2}\times2}=2\sqrt{2}$

となります。

二乗すればすぐに証明できます。

(左辺の二乗)= $\left( a\sqrt{b}\right)^{2}=a^{2}\left(\sqrt{b}\right)^{2}=a^{2}b$

(右辺の二乗)= $\left(\sqrt{a^{2}b}\right)^{2}=a^{2}b$

なので

　 $\left( a\sqrt{b}\right)^{2}=\left(\sqrt{a^{2}b}\right)^{2}$

となります。また、 $a>0,b>0$ なので

　 $a\sqrt{b}=\sqrt{a^{2}b}$

が成り立ちます。

平方根の公式2

$a>0,b>0$ のとき、

$\displaystyle\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\\ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$

例えば

　 $\displaystyle\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{2\times 3}=\sqrt{6}\\ \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{8}{2}}=\sqrt{4}=2$

となります。

これも二乗すれば証明できます。

(左辺の二乗)= $\left(\sqrt{a}\times \sqrt{b}\right)^{2}=\left(\sqrt{a}\right)^{2}\times\left(\sqrt{b}\right)^{2}=ab$

(右辺の二乗)= $\left(\sqrt{ab}\right)^{2}=ab$

なので

　 $\left(\sqrt{a}\times \sqrt{b}\right)^{2}=\left(\sqrt{ab}\right)^{2}$

となります。 $a>0,b>0$ なので

　 $\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$

が成り立ちます。

　 $\displaystyle\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$

も同様にして証明できます。

次の計算をせよ。

(1) $\sqrt{5}+\sqrt{20}$

(2) $\displaystyle\sqrt{10}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

(3) $\sqrt{12}\times \sqrt{3}\div \sqrt{2}$

(1)

　 $\sqrt{5}+\sqrt{20}\\=\sqrt{5}+\sqrt{4\times 5}\\=\sqrt{5}+\sqrt{4}\times\sqrt{5}\\=\sqrt{5}+2\sqrt{5}\\=3\sqrt{5}$

(2)

　 $\displaystyle \sqrt{10}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\\=\frac{\sqrt{5}\times\sqrt{10}}{\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\\=\frac{\sqrt{5}\times\sqrt{5}\times\sqrt{2}}{\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\\=\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\\=\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{5}}\\=\frac{4\sqrt{2}\times\sqrt{5}}{\sqrt{5}\times\sqrt{5}}\\=\frac{4\sqrt{10}}{5}$

分母に平方根を残さないのがならわしです。これを分母の有理化といいます。

(3)

　 $\displaystyle \sqrt{12}\times \sqrt{3}\div \sqrt{2}\\=\sqrt{\frac{12\times 3}{2}}\\=\sqrt{3\times 3\times 2}\\=3\sqrt{2}$

著者：安井真人(やすい　まさと)
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