文字式の利用

カテゴリ：数と式

　せっかく文字式を習ったのでさっそくいろいろな問題に使ってみます。ここでは、文字式を利用した問題を２つ紹介し、実際に解いていきます。

7で割ったら3余り、50以上100未満の整数を書き出してください。

7で割ったら3余る整数は

　 $7n+3$

で表現できます。ここで $n$ は正の整数です。あとは、

　 $n=7$ のとき、 $7\times7+3=52$

　・・・

　 $n=13$ のとき、 $7\times 13=94$

　 $n=14$ のとき、 $7\times 14=101$

　 $n=15$ のとき、 $7\times 15=108$

なので、7,8,…,13で7個が答えです。

３桁の整数があります。じつは、この各桁の和が3の倍数だと3で割れます。このことを証明してください。

問題の意味ですが、345のように各桁の和が

　 $3+4+5=12$

なので3の倍数です。よって、345は3で割れます。実際

　 $345\div 3=115$

となります。

証明の仕方ですが、とりあえず三桁の整数を

　 $100a+10b+c$

とおきます。ここで、 $a$ は1から9のどれかで、 $b,c$ は0から9のどれかの整数です。次に各係数の和を計算すると

　 $a+b+c$

となります。これが3の倍数なので

　 $a+b+c=3n$

となります。ここで $n$ は正の整数です。よって、

　 $100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c)=99a+9b+3n=3(33a+3b+n)$

となります。これは、 $100a+10b+c$ が3で割れることを意味します。以上で証明終了です。

少し難しい問題でしたら、何度も挑戦して解けるようになれば問題なしです。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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