合同

カテゴリ：幾何学

図形を移動したり、回転させたりして、ぴったり合う図形を合同（ごうどう）といいます。例えば、以下の様な２つの三角形 $\triangle ABC,\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$ は、

移動と回転によりぴったり合うので合同です。合同なことを

　 $\triangle ABC\equiv\triangle A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}$

と表現します。

ちゃんと対応する頂点の順番にかく

ことに注意しましょう。例えば、

　 $\triangle ABC\equiv\triangle B^{\prime}A^{\prime}C^{\prime}$

は誤りになります。

三角形の合同条件

　２つの三角形があり、これらが合同であることをどうやって証明すればいいでしょうか？もちろん、重なるから合同でしょ？といってもいいのですが、そもそも重なるとは何なのかという疑問もでるので十分でありません。そこで、どのようなときに三角形が合同になるかを考察していきます。

　まず、三角形の３つの辺が同じ三角形があったとします。例えば、３つの辺の長さを2,3,4とします。この場合、三角形は合同になるでしょうか？長さが2,3,4と指定すれば、三角形の形状は一通りに決まるでしょうか？とかんがえると、合同にならない例が見つからないので、

３つの辺の長さが同じ三角形は合同

といってよさそうです。

　では、２つの辺の長さが同じなら三角形は一通りに決まるでしょうか？いろいろな場合を考えると

のように、間の角度が違えば三角形の形も違うことがわかります。では、もう少し条件をつけて、２つの辺と一つの角が同じなら合同でしょうか？これについても

のような場合、三角形の形状は一致しません。一方、

２つの辺とその間の角度が同じなら合同

なら、三角形の形状は一通りに決まりそうです。これが２つ目の合同の条件です。

　では、ひとつの辺が同じなら、２つの三角形は合同でしょうか？これについては、いうまでもなく例外があるのでちがいます。では、ひとつの辺と一つの角が同じなら、２つの三角形は合同でしょうか？これも

より違うことがわかります。よく考えると

ひとつの辺とその両端の角が同じなら合同

だと一通りに決まりそうです。これが３つめの合同条件です。

結局、２つの三角形が合同であるというには、以下の３つの条件

のどれかが成り立てばいいことがわかります。

では、簡単な証明問題をやっておわります。以下のような図形があります。

ここで、 $AB//CD,AB=CD$ です。

まず、平行であるので錯角が等しくなります。よって

　 $\angle EAB=\angle EDC, \angle EBA=\angle ECD$

となります。また、 $AB=CD$ より

「１辺とその両端の角が等しい」

ので、 $\triangle ABE\equiv \triangle DCE$ がなり立ちます。

　図形の問題は

等しい辺や角を図形に書き込む

のがポイントです。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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