リーマン積分

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定積分

積分を微分の逆として説明してきました。

また、積分を使えば面積を簡単に計算できることも紹介しました。

なぜ、そんなに積分で面積が求まるのか疑問に思われると予想されるのでリーマン積分による積分の定義についてお話します。

リーマン和

この間見せた図を見てください

この面積 $S$ を求めるため、区間 $[a,b]$ を $n$ 個に分割していきます。

そして、分割した $x$ 座標をそれぞれ

　 $a=x_{0},x_{1},\dots ,x{n}=b$

と置くことにします。

そして、区間

　 $[x_{0},x_{1}],[x_{1},x_{2}],\dots,[x_{n-1},x_{n}]$

の任意の座標をそれぞれ

　 $t_{1},t_{2},\dots ,t_{n}$

とします。すると面積 $S$ は

　 $\displaystyle S\approx f(t_{1})(x_{1}-x_{0})+f(t_{2})(x_{2}-x_{1})+\dots +f(t_{n})(x_{n}-x_{n-1})$ ,

　 $\displaystyle=\sum_{i=1}^{n}f(t_{i})(x_{i}-x_{i-1})$

と近似できます。ここで、 $x_{i}-x_{i-1}=\delta x_{i}$ と書くと

　 $\displaystyle S\approx \sum_{i=1}^{n}f(t_{i})\delta x_{i}$

となります。この和をリーマン和と呼びます。

リーマン積分

なにか見たことありませんか？

積分の記号と似てますよね。

ここで、分割した区間が0となるように分割し続けて収束した $S$ を

　 $\displaystyle S=\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^{n}f(t_{i})\delta x_{i}=\int_{a}^{b}f(x)dx$

と書きます。リーマン和の極限として定義された積分をリーマン積分と呼んでいます。

リーマン積分の性質

リーマン積分の定義から、

　 $\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{b}^{c}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx$

が成り立つことがわかります。

また、 $\displaystyle\int_{b}^{a}f(x)dx$ に関しては

　 $\displaystyle\int_{b}^{a}f(x)dx=-\int_{a}^{b}f(x)dx$

となります。

不定積分

リーマン積分による不定積分は

　 $\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x}f(x)dx$

として定義されます。不定積分を微分すれば $f(x)$ となることを以下で証明します。

　 $\displaystyle F(x+\Delta x)-F(x)=\int_{a}^{x+\Delta x}f(x)dx-\int_{a}^{x}f(x)dx\\=\int_{a}^{x+\Delta x}f(x)dx+\int_{x}^{a}f(x)dx\\=\int_{x}^{x+\Delta x}f(x)dx$

ここで、区間 $[x,x+\Delta x]$ の最大値を $M$ 、最小値を $m$ とすると

　 $\displaystyle m\Delta x\leqq \int_{x}^{x+\Delta x}f(x)dx \leqq M\Delta x$ ,

　 $\displaystyle m\Delta x \leqq F(x+\Delta x)-F(x) \leqq M\Delta x$ ,

　 $\displaystyle m\leqq \frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x} \leqq M$

となります。ここで、 $\Delta x\to 0$ とすれば $m\to f(x),M\to f(x)$ となるので、

　 $\displaystyle f(x)\leqq \frac{dF}{dx}\leqq f(x)$ ,

　 $\displaystyle\frac{dF}{dx}=f(x)$

となります。

以上のリーマン積分による積分の定義で

「なぜ、微分の逆をすることで面積が簡単に求まるか」

がわかっていただけたのではないでしょうか？

著者：安井真人(やすい　まさと)
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