リーマン積分
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積分を微分の逆として説明してきました。
また、積分を使えば面積を簡単に計算できることも紹介しました。
なぜ、そんなに積分で面積が求まるのか疑問に思われると予想されるのでリーマン積分による積分の定義についてお話します。
リーマン和
この間見せた図を見てください
そして、分割した座標をそれぞれ
と置くことにします。
の任意の座標をそれぞれ
とします。すると面積は
,
と近似できます。ここで、と書くと
となります。この和をリーマン和と呼びます。
リーマン積分
なにか見たことありませんか?
積分の記号と似てますよね。
ここで、分割した区間が0となるように分割し続けて収束したを
と書きます。リーマン和の極限として定義された積分をリーマン積分と呼んでいます。
リーマン積分の性質
が成り立つことがわかります。
また、に関しては
となります。
不定積分
リーマン積分による不定積分は
として定義されます。不定積分を微分すればとなることを以下で証明します。
,
,
となります。ここで、とすれば
となるので、
,
となります。
以上のリーマン積分による積分の定義で
「なぜ、微分の逆をすることで面積が簡単に求まるか」
がわかっていただけたのではないでしょうか?
著者:安井 真人(やすい まさと)
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