上限・下限と実数の連続性

カテゴリ：微積分

前回、切断について解説しました。切断とは、数を上の組と下の組にわける操作のことをいいました。例えば、実数を1より大きい組と小さい組に分けることを切断といいます。そして、実数の場合、上の組と下の組の境界が必ず実数となることを学びました。この上の組の最小値と下の組の最大値が境界を決める上で重要となるので、ここでは、上限(じょうげん)と下限(かげん)について解説します。

上界と下界

実数bが\mathbb{R}の部分集合Aの上界(下界)であるとは、任意のa\in Aに対して、a\geq b(a\leq b)が成り立つことをいう。Aの上界と下界の集合をそれぞれU(A),L(A)と表し、上界があれば「上に有界」といい、下界があれば「下に有界」という。

上界と下界について、

A=\{x|0<x\leq1\}

という集合を例にとって説明します。この集合Aの全ての値に勝てる数を上界(じょうかい)といいます。つまり、

B=\{x|x\geq1\}

が上界となります。例えば、Bの値である1をAの全ての値a\in Aと比べると必ず

a\leq 1\in B

となり負けることはありません。2や32などのBのどんな値で行っても負けることはないです。この集合Bが集合Aの上界といいます。逆に、すべてのAの値に負ける集合を下界(かかい)といいます。Aの場合は

A=\{x|x\leq 0\}

が下界となります。上界のある集合を上に有界(ゆうかい)といい、下界のある集合を下に有界(ゆうかい)といいます。集合Aの場合は上にも下にも有界ということになります。

\{x|x<1\}

といった集合は上に有界だけど、下には有界でないということになります。

上限と下限

Aの上(下)界の集合U(A)(L(A))の最小元mが存在すれば、mをAの上限(下限)という。そして上限(下限)をm=\sup A(\inf A)と表す。

集合Aの最大値と最小値は

最大値=1,

最小値=なし

となります。最小値は0としたいところですが、0は集合Aに含まれないので最小値になりません。

　切断の境界の値を知りたいときに最大値と最小値を使うと、必ずしも値がない場合があるので不便です。なんとかして、集合Aの境界である0と1を抽出したいものです。そこで、上限と下限を使います。

上限とは「上界の最小値」のことで、下限とは「下界の最大値」のことです。

Aで言えば、上界は集合Bで1以上の数なので最小値は1となります。また、下界は0以下の数なので最大値は0とないります。よって

上限=1

下限=0

となって、集合Aの境界を表現することができました。

実数の連続性

前回、実数の連続性を切断によって表現しましたが(こちらの記事を参照)、ここでは上限と下限を使って表現してみます。まず、次のような集合

A_{1}=\{x|0<x<\sqrt{2},x\in \mathbb{R}\}\\A_{2}=\{x|0<x<\sqrt{2},x\in \mathbb{Q}\}

を考えます。ここで\mathbb{R},\mathbb{Q}はそれぞれ実数と有理数です。これらの集合の上界と下界は

U(A_{1})=\{x|x\geq \sqrt{2},x\in \mathbb{R}\}←A_{1}の上界

U(A_{2})=\{x|x\geq \sqrt{2},x\in \mathbb{Q}\}←A_{2}の上界

L(A_{1})=\{x|x\leq 0,x\in \mathbb{R}\}←A_{1}の下界

L(A_{2})=\{x|x\leq 0,x\in \mathbb{Q}\}←A_{2}の下界

となります。次に、上限と下限を計算すると

sup(A_{1})=\sqrt{2}←A_{1}の上限

sup(A_{2})=なし←\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}だから

inf(A_{1})=0←A_{1}の下限

inf(A_{2})=0←A_{1}の下限

となります。この結果より、有理数の場合は必ずしも上限や下限が存在しないことがわかります。一方、実数の場合は有界なら常に上限や下限が存在します。よって、以下の定理が実数の連続性の上限と下限を使った表現となります。

実数の連続性

実数の集合が上に有界なら、上限が存在する。下に有界なら、下限が存在する

著者：安井 真人(やすい　まさと)

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