数列の極限の公式2

カテゴリ：微積分

数列の極限に関する公式を導きます。まず、数列の極限の定義

「任意の $\epsilon>0$ に対して、ある自然数 $n_{0}$ が $n>n_{0}$ なら、 $|\alpha-a_{n}|<\epsilon$ となるように取れる。このとき $\{a_{n}\}$ は $\alpha$ に収束するという。」

をしっかり押さえておきましょう。

収束数列は有界

$a_{n}\to \alpha$ なら、 $|a_{n}|<M$ となる定数 $M$ があり、 $|\alpha|\leq M$ となる

定理を理解するために例を挙げます。例えば、 $a_{n}=1/n$ は0に収束します。そして、 $M=2$ としてやれば、全ての $n$ に対して

　 $|1/n|=1/n<2$

となります。当然、極限値も

　 $0<2$

となります。

ある正の実数 $\epsilon$ をとると、 $a_{n}\to \alpha$ なので、

$n>n_{0}$ のとき、 $|\alpha-a_{n}|<\epsilon$ ・・・(1)

となる $n_{0}$ が存在します。式(1)を変形すると

　 $|\alpha-a_{n}|<\epsilon$

　 $\Rightarrow -\epsilon<\alpha-a_{n}<\epsilon$

　 $\Rightarrow \alpha-\epsilon<a_{n}<\alpha+\epsilon$ ・・・(2)

となります。そこで、

　 $|a_{1}|,|a_{2}|,\cdots,|a_{n_{0}}|,|\alpha-\epsilon|,|\alpha+\epsilon|$

のどれよりも大きい数を $M$ とすれば、すべての $n$ に対して

　 $|a_{n}|<M$

となります。これで定理の前半部分の証明が完了です。

　次に、定理の後半部分を背理法で証明します。

$a_{n}\to \alpha,|a_{n}|<M$ とします。

もし、

$|\alpha|>M$ だとすると、

$|\alpha|>M_{1}>M$ となる $M_{1}$ を取れます(例えば, $(|\alpha|+M)/2$ 。

すると

　 $|\alpha-a_{n}|>|\alpha|-|a_{n}|>M_{1}-|a_{n}|>M_{1}-M>0$

が任意の $n$ に対して成り立つことになります。これは $a_{n}\to \alpha$ に矛盾します。よって、

　 $|\alpha|\leq M$

がいえます。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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