数列の極限の公式3
カテゴリ:微積分

数列の極限の公式の三回目です。はじめに数列の極限の定義を述べます。
「数列が
に収束するとは、任意の正数
に対して、ある自然数
が存在して、
ならば
が成り立つことである。」
では以下の定理を証明します。
極限に関する定理
数列が
に収束するとき、
,
,
,
が成り立つ。ただし(4)に関してはとする。
(1)と(2)の証明
任意の正数をとります。すると
は収束するので
がある自然数以上の自然数
で成り立ちます。よって、
,
がで成り立ちます。これは
を意味します。
(3)の証明
数列は収束するので任意の正数
に対して
がある自然数以上の自然数
で成り立ちます。次に
,
,
・・・(1)
となります。は収束するので
とある実数で押さえることができます(定理)。ゆえに(1)は
・・・(2)
となります。右辺は任意の正数であり、で式(2)が成り立つことから、
が証明されたことになります。
(4)の証明
・・・(4)’
を証明すればいい。なぜなら、もし(4)’が証明されれば、公式(3)から
が示されるからです。では、(4)’を証明します。まず、なので、任意の正数
に対して
がある自然数以上の自然数
で成り立ちます。よって、
・・・(3)
が成り立ちます。ここで、なので、
がある自然数以上の自然数で成り立ちます。よって(3)は
・・・(4)
となります。右辺は任意の正数であり、とすれば、
で(4)が成り立つので
が導かれます。
著者:安井 真人(やすい まさと)
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