数列の極限の公式3

カテゴリ：微積分

数列の極限の公式の三回目です。はじめに数列の極限の定義を述べます。

「数列 $\{a_{n}\}$ が $\alpha$ に収束するとは、任意の正数 $\epsilon$ に対して、ある自然数 $n_{0}$ が存在して、 $n>n_{0}$ ならば $|\alpha-a_{n}|<\epsilon$ が成り立つことである。」

では以下の定理を証明します。

極限に関する定理

数列 $\{a_{n}\},\{b_{n}\}$ が $\alpha,\beta$ に収束するとき、

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_{n}+b_{n})=\alpha+\beta$ ,
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_{n}-b_{n})=\alpha-\beta$ ,
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_{n}b_{n})=\alpha\beta$ ,
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}}{\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_{n}}$

が成り立つ。ただし(4)に関しては $b_{n}\neq 0,\displaystyle\lim_{n\to\infty}\neq0$ とする。

(1)と(2)の証明

任意の正数 $\epsilon$ をとります。すると $\{a_{n}\},\{b_{n}\}$ は収束するので

　 $|\alpha-a_{n}|<\epsilon/2,|\beta-a_{n}|<\epsilon/2$

がある自然数 $n_{0}$ 以上の自然数 $n$ で成り立ちます。よって、

　 $\displaystyle|(\alpha\pm\beta)-(a_{n}\pm b_{n})|=|(\alpha-a_{n})\pm(\beta-b_{n})|$ ,

　 $\displaystyle\leq |\alpha-a_{n}|+|\beta-b_{n}|<\epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon$

が $n>n_{0}$ で成り立ちます。これは

　 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_{n}\pm b_{n})=\alpha\pm\beta$

を意味します。

数列 $\{a_{n}\},\{b_{n}\}$ は収束するので任意の正数 $\epsilon$ に対して

　 $|\alpha-a_{n}|<\epsilon,|\beta-b_{n}|<\epsilon$

がある自然数 $n_{0}$ 以上の自然数 $n$ で成り立ちます。次に

　 $|\alpha\beta-a_{n}b_{n}|=|(\alpha-a_{n})\beta+a_{n}(\beta-b_{n})|$ ,

　 $\leq |(\alpha-a_{n})\beta|+|a_{n}(\beta-b_{n})|$ ,

　 $<\epsilon |\beta|+|a_{n}|\epsilon$ ・・・(1)

となります。 $\{a_{n}\}$ は収束するので

　 $a_{n}<M$

とある実数 $M>0$ で押さえることができます(定理)。ゆえに(1)は

　 $\displaystyle|\alpha \beta-a_{n}b_{n}|<\epsilon |\beta|+|a_{n}|\epsilon<\epsilon|\beta|+M\epsilon=\epsilon(|\beta|+M)$ ・・・(2)

となります。右辺は任意の正数であり、 $n>n_{0}$ で式(2)が成り立つことから、

　 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_{n}b_{n}=\alpha\beta$

が証明されたことになります。

　 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{b_{n}}=\frac{1}{\beta}$ ・・・(4)’

を証明すればいい。なぜなら、もし(4)’が証明されれば、公式(3)から

　 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=\lim_{n\to\infty}a_{n}\frac{1}{b_{n}}=\alpha\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha}{\beta}$

が示されるからです。では、(4)’を証明します。まず、 $b_{n}\to \beta$ なので、任意の正数 $\epsilon$ に対して

　 $|\beta-b_{n}|<\epsilon$

がある自然数 $n_{0}$ 以上の自然数 $n$ で成り立ちます。よって、

　 $\displaystyle\left|\frac{1}{\beta}-\frac{1}{b_{n}}\right|=\left|\frac{b_{n}-\beta}{b_{n}\beta}\right|<\frac{\epsilon}{|b_{n}||\beta|}$ ・・・(3)

が成り立ちます。ここで、 $b_{n}\to\beta$ なので、

　 $|\displaystyle\beta|-|b_{n}|\leq|\beta-b_{n}|<|\beta|/2\Rightarrow |\beta|/2<|b_{n}|\Rightarrow \frac{1}{|b_{n}|}<\frac{2}{|\beta|}$

がある自然数 $n_{1}$ 以上の自然数で成り立ちます。よって(3)は

　 $\displaystyle\left|\frac{1}{\beta}-\frac{1}{b_{n}}\right|<\frac{\epsilon}{|b_{n}||\beta|}<\frac{2\epsilon}{|\beta|^{2}}$ ・・・(4)

となります。右辺は任意の正数であり、 $n_{2}=Max(n_{0},n_{1})$ とすれば、 $n>n_{2}$ で(4)が成り立つので

　 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{b_{n}}=\frac{1}{\beta}$

が導かれます。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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