単調数列の収束性

カテゴリ：微積分

単調増加数列とは

1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,5,5,5,…

といったように常に上昇し続ける数列のことです。

一方、単調減少数列とは

10,10,9,2,1,-8,…

といったように常に減少し続ける数列のことです。

単調増加数列と単調減少数列をまとめて単調数列と呼びます。

以下の単調数列の収束性に関する定理を証明します。

有界な単調数列は収束する

単調減少数列の例として $a_{n}=1/n$ があげられます。

この関数は全ての自然数 $n$ に関して

$a_{n}<2,a_{n}>-1$

なので、上にも下にも有界です。

この定理は

「単調に増加していっても、上に限界があれば頭打ちになる」

ということをいっているだけです。

では証明していきます。

いま数列 $\{a_{n}\}$ を単調増加数列とします。

この数列は上に有界なので、上限 $\alpha$ が存在します(この定理より)。

この上限 $\alpha$ が数列の極限となることを証明します。

そこで任意の正数 $\epsilon$ をとります。すると

$\alpha-\epsilon<a_{n_{0}}<\alpha$ ・・・(1)

となる自然数 $n_{0}$ が存在します。

なぜなら、もし存在しないと $\alpha-\epsilon$ が上界となり、上界の最小値である上限 $\alpha$ よりも小さい上界 $\alpha-\epsilon$ が存在してしまうからです。

これは上限の定義に反します。

また、 $\{a_{n}\}$ は単調増加数列なので $n>n_{0}$ として、(1)より

$\alpha-\epsilon<a_{n_{0}}\leq a_{n}<\alpha$ ,

$\Rightarrow \alpha-a_{n}<\epsilon$ ・・・(2)

が成り立ちます。また $\alpha$ は上限なので

$a_{n}<\alpha+\epsilon\Rightarrow -\epsilon<\alpha-a_{n}$ ・・・(3)

が成り立ちます。(2)と(3)より

$|\alpha-a_{n}|<\epsilon$

が $n>n_{0}$ で成り立ちます。

これは

$\lim_{n\to\infty}a_{n}=\alpha$

を意味します。

これで証明終了です。

単調減少数列も同様にして証明できます。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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