アルキメデスの原理

カテゴリ：微積分

高校では

$\lim_{n\to\infty}n=\infty$ ・・・(1)

を当たり前のものとして考えてきました．

今回は，式(1)を証明します．

式(1)を別のいい方でいうと次の定理となります．

定理6’：アルキメデスの原理

任意の二つの実数 $a>0,b>0$ に対して， $na>b$ となる自然数 $n$ が存在する．

式(1)は言い換えると

「任意の実数 $b>0$ に対して， $n>b$ となる自然数 $n$ が存在する」

なので，アルキメデスの原理において $a=1$ の場合と同じです．

ですから，式(1)はアルキメデスの原理より導かれます．

では，アルキメデスの原理を証明します．

【証明】

いま，任意の実数 $a>0,b>0$ をとります．

証明することは実数 $b$ は数列 $\{ an\}$ の上界でないということです．

仮に，実数 $b$ が上界なら，定理6「有界な単調数列は収束する」より，数列 $\{an\}$ は上限 $\alpha$ へ収束します．

上限の意味から，

　 $na\leq \alpha$ ・・・(2)

が任意の自然数 $n$ で成り立ちます．

また， $a>0$ なので

　 $\alpha-a<\alpha$

となります． $\alpha$ が上限なので， $\alpha-a$ は上界とはなりません．なぜなら，上限とは上界の最小値だからです．

よって，

　 $\alpha-a<n^{\prime}a\Leftrightarrow \alpha<(n^{\prime}+1)a$

となる自然数 $n$ が存在します．しかし，これは式(2)と矛盾します．

よって，背理法よりアルキメデスの原理が証明されました．

アルキメデスの原理の応用例1

では，応用例として

$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0$ ・・・(3)

を証明してみましょう．

式(3)は

「任意の実数 $\epsilon>0$ に対して， $|1/n-0|<\epsilon$ となる自然数 $n$ がある」

となります．

そこで，まず任意の実数 $\epsilon$ をとります．

そして，アルキメデスの原理より，

　 $n\epsilon>1,(a=\epsilon,b=1)$

が成り立ちます．式変形すれば

　 $n\epsilon>1\Leftrightarrow \epsilon>1/n=|1/n|$

なので式(3)が証明されました．

アルキメデスの原理の応用例２

　 $\lim_{n\to\infty}2^{-n}=0$ ・・・(4)

を証明します．そこで，数学的帰納法で

　 $\frac{1}{n}>2^{-n}$ ・・・(5)

を証明します．まず， $n=1$ のときは

　 $1>1/2$

で成り立ちます．また， $n$ のとき成り立つとすると

　 $2^{-(n+1)}=2^{-1}2^{-n}<\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+n}\leq\frac{1}{n+1}$

となり， $n+1$ の場合も成り立ちます．

以上より式(5)は証明されました．

式(5)と式(3)より式(4)が得られます．

著者：安井真人(やすい　まさと)
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