集積点

カテゴリ：微積分

いま二次元の点列 $\{a_{n,m}\}$ を考えます．ここで

$\displaystyle a_{n,m}=\left(\frac{1}{n},\frac{1}{m}\right)$

であり， $n,m$ は自然数です．

この点列は点 $(1/n,0),(0,1/m),(0,0)$ の付近に無数の点が集まってきます．

このように，ある点付近に無数の点があるところを集積点と呼びます．

集積点に関して以下の定理が成り立ちます．

定理9.有界な無数の点の集合に関して，集積点は必ずある．

さきほど述べた点列 $(1/n,1/m)$ がその例です．

有限な枠の中に無限個の点を打てば，どこかに無限個の点が含まれる部分があるということです．

各次元について証明できますがわかりやすくするため，２次元についてのみ証明します．

まず，無数の点の集合は有限なので，ある正方形 $Q$ で囲むことができます．

そして， $Q$ を４等分します．

すると，領域が４つできて少なくとも一つの領域に無数の点があるはずです．

それを一つ選んで $Q_{1}$ とします．

同様に４等分して，無数の点を含む領域を選んでいけば

$Q\supset Q_{1}\supset Q_{2}\supset\cdots$

となっていきます．ここで， $Q_{i}$ の最小の座標を

$(x_{i},y_{i})$

とすれば

$x\geq x_{1}\geq x_{2}\geq \cdots$ ,

$y\geq y_{1}\geq y_{2}\geq \cdots$

となります．定理6「有界な単調数列は収束する」よりこれら二つはある値へ収束します．その値を

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_{n}=\alpha,\lim_{n\to\infty}y_{n}=\beta$

とします．

次にこの収束した点 $P=(\alpha,\beta)$ が集積点であることを証明します．

点Pを含むどんなに小さな領域をとっても， $Q_{n}$ の $n$ を大きく取れば小さな領域に $Q_{n}$ が含まれます．

よって，点Pを含む任意の領域は $Q_{n}$ を含むことになり，無限な点も含まれることになります．

よって、Pは集積点となります．

以上で定理9は証明されました．

著者：安井真人(やすい　まさと)
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