区間縮小法の拡張

カテゴリ：微積分

区間縮小法を多次元へと拡張した定理を証明します．

定理10. 有界な閉集合の列 $S_{1},S_{2},\cdots$ において

(1) $S_{1}\supset S_{2}\supset \cdots\supset S_{n}\supset \cdots$ ,

(2) $n$ が限りなく大きいとき， $S_{n}$ の径が限りなく小さくなる．

ならば，これらの集合 $S_{n}$ に共通な点がただ一つある．

【証明】

まず $S_{1},S_{2},\cdots$ から任意の点 $P_{1},P_{2},\cdots$ を取り出します．

条件(1)より， $P_{n},P_{n+1},\cdots$ は $S_{n}$ に含まれます．

また，条件(2)より $P_{n},P_{m}$ の距離

　 $|P_{n}-P_{m}|$

は $n,m$ が十分大きければ限りなく0に近づきます．

これは点列 $P_{1},P_{2},\cdots$ がCauchyの収束条件を満たすことを意味します．

よって，定理8より，点列はある点 $A$ に収束します．

$A$ は閉集合 $S_{n}$ の点 $P_{n},P_{n+1},\cdots$ の集積点なので閉集合の定義より

　 $A\subset S_{n}$

となります． $n$ は任意なので， $A$ は $S_{1},S_{2},\cdots$ に含まれます．

$A$ がただ一つの点となることは，条件(2)から明らかです．

なぜなら，もし二点 $A,B$ あるとすれば， $A,B$ の距離は有限なので条件(2)が成り立たないからです．

以上で証明終了です．

著者：安井真人(やすい　まさと)
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