イプシロン・デルタ(ε-δ)論法
カテゴリ:微積分
数列の極限を考える際、
「イプシロン・エヌ論法」
という考え方を導入し定義しました。
関数の極限を考える際は
「イプシロン・デルタ論法」
という考え方を導入します。
ただ離散値(エヌ)が連続値(デルタ)に変わっただけで考え方はイプシロン・エヌ論法と同じです。
関数の極限
関数が
のとき
へ収束することを
とかき、イプシロン・デルタ論法を使ってつぎのように定義します。
「任意に正数をとるとき、ある正数
が存在して
ならば
が成り立つ」
例を使って考える
定義だけだと分かりづらいので例を使って考えましょう。
例として
とし
をイプシロン・デルタ論法で考えてみましょう。
まず、任意の正数をとります。
例えば、を取ったとします。そして、
ならば
となる正数を探します。そこで
とすれば
となり
を満たすことがわかります。
以上の操作をすべてので行うのです。
これがイプシロン・デルタ論法です。
基本的にイプシロン・エヌ論法とおなじですね。
ちゃんと証明する
先ほどの
を証明します。
【証明】
まず任意の正数をとります。また、
となり
なので
,
となるように小さくをとればいいです。そこで
となるようにとれば
なので
となるようにをとればいいことになります。そこでたとえば
とすればいいことになります。以上で証明終了です。
補足
「任意に正数をとるとき、ある正数
が存在して
ならば
が成り立つ」
で
「」
とあります。これによりたとえば
,
という関数があるときは
となり
となります。よって、一般に
ということになりますね。
著者:安井 真人(やすい まさと)
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