関数におけるCauchyの収束条件
カテゴリ:微積分
数列におけるCauchyの収束条件は覚えているでしょうか?
「任意の正数をとり、数列
において
ならば
となるならば、数列は収束する」
というものです。要するに、数列の番号を進めていき二つの項の差がどんどん0に近づいていけば収束するという定理です。
このことを関数の収束についてもおこなおうということです。
関数の場合
関数が
へ近づいているとして
が収束するための条件をCauchy風の表現でかくにはどうすればいいでしょうか?
とりあえず数列のときをまねて、
に近づいた2点を考えて関数値をとればよさそうです。
そこで、つぎのように表現します。
「関数が収束するための必要十分条件は
任意の正数をとり、
ならば
となることである」
これが関数におけるCauchyの収束条件です。
著者:安井 真人(やすい まさと)
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