関数におけるCauchyの収束条件

カテゴリ：微積分

数列におけるCauchyの収束条件は覚えているでしょうか？

「任意の正数 $\epsilon>0$ をとり、数列 $\{a_{n}\}$ において

$n,m>n_{n}$ ならば $|a_{n}-a_{m}|<\epsilon$

となるならば、数列 $\{a_{n}\}$ は収束する」

というものです。要するに、数列の番号を進めていき二つの項の差がどんどん０に近づいていけば収束するという定理です。

このことを関数の収束についてもおこなおうということです。

関数 $f(x)$ が $A$ へ近づいているとして

　 $\displaystyle\lim_{x\to A}f(x)$

が収束するための条件をCauchy風の表現でかくにはどうすればいいでしょうか？

とりあえず数列のときをまねて、

$A$ に近づいた２点を考えて関数値をとればよさそうです。

そこで、つぎのように表現します。

「関数 $f(x)$ が収束するための必要十分条件は

任意の正数 $\epsilon>0$ をとり、

$|x_{1}-A|<\delta_{1},|x_{2}-A|<\delta_{2}$ ならば $|f(x_{1})-f(x_{2})|<\epsilon$

となることである」

これが関数におけるCauchyの収束条件です。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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