連続関数

カテゴリ：微積分

関数にもいろいろな関数があります。

一般にわたしたちがよく使う関数が連続関数です。

連続関数とは変数が連続的に変化したさいに、関数値も連続的に変化するような関数です。

はじめに少し連続関数とそうでない場合の例をあげます。

連続関数の例

連続関数の例としては

　 $f(x)=1$ ,

　 $g(x)=2x-1$

があげられます。

右の図は関数 $f(x),g(x)$ を記述したものです。

みてわかると思いますがいたる点で連続的につながっています。

「連続的につながっているのが連続関数だ」

というイメージをもっていただくことが大事です。

不連続関数の例

連続関数でない例もおさえておくとより理解が進みます。

では例をあげます。

　 $f(x)=1,(x\geq 0)$ ,

　 $f(x)=0,(x< 0)$

この関数をグラフにしたものが右の図です。

$x=0$ のところでグラフが途切れていることがわかります。

よって、この関数は $x=0$ 以外では連続ですが、 $x=0$ で不連続です。

この関数は「単位ステップ関数」ともいわれ、フーリエ解析や制御工学で入力としてよく使われます。

もう一つ連続関数でない例をあげます。

　 $f(x)=0,(x\neq 0)$ ,

　 $f(x)=1,(x=0)$

この関数は一見連続しているように見えますが、 $x=0$ で不連続となります。

以上で連続関数と不連続関数の例を紹介したので連続関数の定義について述べていきます。

定義

ではさっそく連続関数の定義を紹介します。

「関数 $f(x)$ が $x=a$ で連続であるとは

　 $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$

が成り立つことである」

これをイプシロン・デルタ論法でかけば

「任意の正数 $\epsilon>0$ において、ある正数 $\delta>0$ が存在して

　 $|x-a|<\delta$ ならば $|f(x)-f(a)|<\epsilon$

が成り立つとき、関数 $f(x)$ を連続関数という」

となります。

連続関数の例であげた関数

　 $f(x)=2x-1$

は任意の点 $a$ で

　 $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=2a-1=f(a)$

となるので連続関数です。

一方、不連続関数の例である

　 $f(x)=0,(x\neq 0)$ ,

　 $f(x)=1,(x=0)$

では

　 $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=0$

ですが

　 $f(0)=1$

なので

　 $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)\neq f(0)$

となり、 $x=0$ で不連続なので不連続関数です。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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