中間値の定理

カテゴリ：微積分

連続関数にはいくつかたいせつな性質があります。

そのひとつが中間値の定理です。

中間値の定理を以下にかきます。

定理12. 【中間値の定理】

ある区間において連続な関数 $f(x)$ がこの区間に属する点において相異なる値 $f(a)=\alpha,f(b)=\beta$ をとるとき、 $\alpha<\mu<\beta$ となる任意の値 $\mu$ において

$a<c<b,f(c)=\mu$

となる $c$ が存在する。

解説

中間値の定理とは簡単にいうと

「連続なら中間地点があるでしょう」

ということです。

「マラソンのさい、走った道のりは連続なので、必ず中間地点が存在する」

というのが中間値の定理です。

いたって当たり前の定理です。では証明します。

証明

いま $\alpha<\mu<\beta$ となる値 $\mu$ を任意にとります。

そして

$F(x)=f(x)-\mu$

とおけば

$F(a)=\alpha-\mu<0$ ,

$F(b)=\beta-\mu<0$

が成り立ち、 $[a,b]$ において連続となります(右図)。

$F(a)<0$ で連続なので、 $a$ のある近傍では $F(x)<0$ となるような

区間 $[a,\xi]$

が存在します(右図)。

$F(b)>0,F(\xi)<0$ なので $\xi$ には上限があります。

この上限を $c$ とします。すると

$F(c)=0$

でなければなりません。

もし $F(c)<0$ なら、

$a=c$ として同じ操作をすれば、

$[c,\xi]$ で $F(x)<0$ となる $\xi$ が存在します。

これは $c$ が上限であることに反します。

もし $F(c)>0$ なら、

$c$ の近傍で $F(c-\epsilon)>0$ となる正数 $\epsilon>0$ が存在します。

しかし、区間 $[a,c-\epsilon]$ で $F(x)<0$ がつねに成り立つことに反します。

よって $F(c)=0$ でなくてはなりません。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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