連続関数の一様性

カテゴリ：微積分

連続関数の性質の最後となりました。

一様性についての定理を証明していきます。

さっそくですが定理を述べます。

定理14【連続の一様性】

有界な閉区域 $K$ において、 $f(P)$ は連続とする。すると任意の正数 $\epsilon$ に対して、ある正数 $\delta>0$ が存在して、区域 $K$ の任意の点 $P,Q$ に対して

　 $PQ<\delta$ ならば $|f(P)-f(Q)|<\epsilon$

がなりたつ。

解説

いきなり一様といわれてもピンとこないと思うので解説します。

一様とは、

「急激に変わらない」

ということだと思ってください。

たとえば、単位ステップ関数(右図)の場合、 $x=0$ で急激に変わります。

よって単位ステップ関数は原点で一様ではありません。

また

　 $y=1/x,x\neq 0$

も原点付近で急激に変化するので一様ではありません。

実際に任意の正数を1として考えるといくら $\delta>0$ を小さくしても原点付近に点 $x_{1},x_{2}$ をとれば

　 $\left| \frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{2}}\right|<1$

は成り立ちません。

では連続関数の一様性の証明にかかります。

証明

領域 $K$ に属する点 $P$ を中心として半径 $r$ の円をかいて、その周上と内部の点の集合を $C(P,r)$ とします(右図の円)。

そして、 $K,C(P,r)$ のどちらにも属する領域を $C_{r}$ とします(右図の赤色の領域)。

$C_{r}$ は有界な閉集合なので「連続関数の最大値と最小値の定理」から $C_{r}$ において関数 $f$ に最大値と最小値が存在します。

最大値と最小値の差を変動量といい $v(P,r)$ とかくことにします。

閉集合 $K$ の変動量を $V$ とします。

そして任意の正数 $\epsilon$ をとります。

もし、任意の正数 $\epsilon$ に対して $0\leq V<\epsilon$ が成り立てば定理は証明されるので、ある正数 $\epsilon$ に対して $0<\epsilon\leq V$ の場合を証明します。

この場合、 $v(P,r)<\epsilon$ を満たす $r$ には上限があり、 $\rho$ とおきます。

$\rho$ は $P$ の関数なので $\rho(P)$ とかきます。

また $\rho(P)>0$ がなりたつことが以下のようにして導かれます。

まず、関数 $f$ は連続なので十分小さい $r_{0}>0$ をとれば、 $C_{r_{0}}$ に属する任意の二点 $A,B$ について

　 $|f(A)-f(P)|<\epsilon/2,|f(B)-f(P)|<\epsilon/2$

が成り立ちます。よって

　 $|f(A)-f(B)|\geq |f(A)-f(P)|+|f(P)-f(B)|<\epsilon$

が得られます。これより $v(P,r_{0})<\epsilon$ となり $\rho(P)\geq r_{0}>0$ が得られます。

ゆえに $\rho(P)>0$ となります。

つぎに $\rho(P)$ が連続関数であることを示します。

いま円 $C(P,\rho)$ の内部に $K$ に属する点をとって $Q,P$ を通る直線をひきます。

そして、円 $C(P,\rho)$ との交点を $A,B$ とおきます。

$QA$ よりも小さい半径で中心 $Q$ の円は、円 $C(P,\rho)$ に含まれます。

よってその円内の $f$ の振動は、 $\epsilon$ よりも小さくなります。

従って、 $\rho(Q)\geq QA$ となります。

一方、 $Q$ を中心として $QB$ よりも大きい半径をゆうする円は円 $C(P,\rho)$ を含むので、その中の振動量は円 $C(P,\rho)$ よりも大きくなります。

よって、 $\rho(Q)\leq QB$ が得られます。

ゆえに、

　 $\rho(P)-PQ=QA\leq \rho(Q)\leq QB=\rho(P)+PQ$ ,

　 $\Leftrightarrow |\rho(P)-\rho(Q)|\leq PQ$

が得られます。これは $Q$ を限りなく $P$ へ近づければ、 $\rho(P)$ となることになり、関数 $\rho$ は連続であることを意味します。

有界な閉区間 $K$ において連続な関数 $\rho(P)$ は最小値をもちます(定理13.連続関数の最大値と最小値の定理)。

それを $\rho_{0}$ とおくと、 $\rho_{0}>0$ で $v(P,\rho_{0})\leq v(P,\rho/2)<\epsilon$ が得られます。

これは $PQ<\rho_{0}$ となるとき $|f(P)-f(Q)|\leq v(P,\rho_{0})\leq \epsilon$ を意味し、定理が証明されます。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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