微分
カテゴリ:微積分
今回からいよいよ微分に移っていきます。
微分とは変数を少し変えたら、関数の値はどれくらい変わるかについて考えたものです。
いま関数をとして、変数が
から
へ少しずれた場合を考えます。
見易くするため、変数の変化量を
とおきます。
次に関数値の変化量を求めると
となります。
これより傾きを計算すると
が得られます。ここでを限りなく小さくしたとき
に極限値が存在するとき
を微分係数といい、関数は
で微分可能であるといいます。
もし、関数が区間
で微分可能ならば、
は区間
で微分可能であるといい、極限値
は
の関数となります。
そこでその関数をの導関数といい、
とあらわします。これは
とも書き表すことができます。
の扱い方
を
のようにわけて考えていいように
を定義します。
そこで関数について考えます。そして、
とかけたとします。ここでが固定されているとき
が成り立つとします。すると
となります。例として、で考えると
となります。つまり、です。
が小さいときの
と
を比べます。
すると、では
だけですが、
では
と
の二つが小さい値をとります。
ですから、
のは関数
の主要部分となります。
そこで、を関数
の点
における微分と名付けて、
とします。これがの定義です。
を
自身の関数とみれば
なので
となります。これをに代入すれば
が得られます。これを
とかけば、記号は
を
でわった「商」としての意味ももつようになります。
これで、を独立した変数としてみることの正当化がされたことになります。
著者:安井 真人(やすい まさと)
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