合成関数の微分
カテゴリ:微積分
合成関数の微分を計算します。
まず、関数は区間
における
の関数として、関数
は区間
における
の関数とします。
もしも、が
の間のみを取るならば、
は
の関数になります。
この際のの微分を計算します。
すると以下の定理が成り立ちます。
定理17.合成関数の微分
が微分可能ならば
も微分可能で
となる。
例
例を一つあげます。
この関数は、とおけば
となります。これに定理17を適応すれば
が得られます。このように合成関数の微分をしっていると簡単に計算できます。
証明
変数に関する変動を
とし、それにともなう
の変動をそれぞれ
とします。すると
が得られます。これより、
となります。ここで
とすれば、のとき
で
が導かれます。よって
となります(に関する意味はこちらの記事を参照)。これより
が得られます。
著者:安井 真人(やすい まさと)
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