逆関数の微分

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逆関数の微分について解説します。

逆関数を微分する前に、まず逆関数とはなにかについて解説します。

 

逆関数

区間a\leq x\leq bにおいて連続な関数y=f(x)は、区間a\leq x\leq bにおいて最大値qと最小値pをもちます(定理13「最大値・最小値の定理」より)。

また中間値の定理(定理12)より、yは区間p\leq y\leq qの任意の値をとることができます。

y=f(x)が単調な場合に限り、xとyは一対一に対応します。

よって、yをxの変数とみてやれば

　x=g(y)

とかくことができます。この関数g(y)をf(x)の逆関数といいます。

 

※注意

単調な関数の場合に逆関数が存在することに注意してください。

例えば、区間が実数として

　y=x^{2}

の場合だと、y=1に対応するxの値は\pm 1と二つ出てくるので逆関数をつくることができません。

もし区間を[0,\infty)としてやれば、単調増加関数となるので

　x=\sqrt{y}

が逆関数となります。

 

逆関数の微分

では逆関数の微分についての以下の定理を証明します。

 

定理18. 逆関数の微分

ある区間においてxの関数yが連続で単調なら、yの変動区間においてxを変数としてyの逆関数が定義される。逆関数も連続かつ単調である。

もしも、yがxの関数として微分可能ならばxもyで微分可能で

　\displaystyle\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dy}=1

が成り立つ。

例

先ほどのべた区間[0,\infty)における関数y=x^{2}の場合は

　\displaystyle\frac{dy}{dx}=2x,\\ \frac{dx}{dy}=\frac{d}{dy}\sqrt{y}=\frac{1}{2\sqrt{y}}=\frac{1}{2x}

なので

　\displaystyle\frac{dy}{dx}\frac{dx}{dy}=2x\times \frac{1}{2x}=1

となります。

 

証明

逆関数が確定することはさきほどの説明で述べました。

 

そこでy=f(x),x=g(y)とおき、x=g(y)が単調であることを証明します。

まず、y_{1}<y_{2}となるyをとり、それに対応するxをx_{1},x_{2}とします。

すると、y=f(x)は単調なので

単調増加の場合は、x_{1}<x_{2}となり、

単調減少の場合は、x_{1}>x_{2}となります。

よって、

単調増加：y_{1}<y_{2}\Rightarrow x_{1}<x_{2},

単調減少：y_{1}<y_{2}\Rightarrow x_{1}>x_{2}

が成り立つので、逆関数が単調であることがわかります。

 

次に逆関数が連続であることを証明します。

いま\{y_{n}\}をAへ収束する任意の単調数列とします。

すると、それに対応する数列\{x_{n}\}も単調かつ有界なのである極限値Bへ収束します。

また、f(x)は連続関数なので

　\displaystyle\lim_{n\to \infty}f(x_{n})=f(B)

がなりたちます。左辺は

　\displaystyle\lim_{n\to \infty}f(x_{n})=\lim_{n\to\infty}y_{n}=A

となるので

　A=f(B)\Leftrightarrow B=g(A)

が得られます。これは

y_{n}\to Aのとき、g(y_{n})=x_{n}\to B=g(A)

となり逆関数が連続であることを意味します。

 

最後に逆関数の微分を計算します。

\Delta xをxの微小変化とすれば、それに対応するyの微小変化\Delta yは0にはなりません。

なぜなら、関数y=f(x)は単調だからです。

よって

　\displaystyle\frac{\Delta x}{\Delta y}=\frac{1}{\Delta y /\Delta x}

が成り立ち、極限\Delta y\to 0のとき\Delta x\to 0なので

　\displaystyle\frac{dx}{dy}=\lim_{\Delta y\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta y}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{1}{\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}}=\frac{1}{\displaystyle\frac{dy}{dx}}

が得られます。

著者：安井 真人(やすい　まさと)

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