ロル(Rolle)の定理

カテゴリ：微積分

導関数の性質であるロルの定理を証明します。

定理19. ロルの定理

$f(x)$ は区間 $\left[a,b\right]$ で連続、 $(a,b)$ で微分可能とする。そして、 $f(a)=f(b)$ ならば、区間 $(a,b)$ のある点において $f^{\prime}(x)=0$ となる。

この定理はただ単に

「高さが同じ二つの地点をなめらかにつなげば、必ずどこかに水平な部分がある」

と言っているだけです。

$f(a)=f(b)=0$ の場合を考えます。もし0でない値 $k$ なら

　 $g(x)=f(x)-k$

として考えれば同じことです。

$f(x)=0$ が全ての区間について成り立つなら、つねに傾きは0なので定理はなりたちます。

もし、 $f(x)$ が正の値をとるなら、区間 $\left[a,b\right]$ における $f(x)$ の最大値は正の値をとります。

連続な関数は閉区間で最大値を持つので(定理13)、それを

　 $f(\xi)>0,a<\xi<b$

とします。

　 $\Delta f=f(\xi +\Delta x)-f(\xi)$

とおくと、 $f(\xi)$ は最大値なので

　 $\Delta f\leq 0$

となります。そして

$\Delta x>0$ ならば $\displaystyle \frac{\Delta f}{\Delta x}\leq 0$ となり、 $f^{\prime}(\xi)\leq 0$

$\Delta x>0$ ならば $\displaystyle \frac{\Delta f}{\Delta x}\geq 0$ となり、 $f^{\prime}(\xi)\geq 0$

なので $f^{\prime}(\xi)=0$ が得られます。

もしも $f(x)$ が負の値のみをとるなら、最小値を考えればいいです。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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