平均値の定理

カテゴリ：微積分

ロルの定理を拡張して定理である平均値の定理について説明します。

定理20. 平均値の定理

$f(x)$ は $\left[a,b\right]$ で連続で、 $(a,b)$ で微分可能とする。すると

　 $\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(\xi),a<\xi<b$

となる $\xi$ が存在する。

証明

　 $\displaystyle F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x$

とおくと

　 $\displaystyle F(a)=f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}a\\ =\frac{bf(a)-af(a)-af(b)+af(a)}{b-a}\\=\frac{bf(a)-af(b)}{b-a},\\F(b)=f(b)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}b\\ =\frac{bf(b)-af(b)-bf(b)+bf(a)}{b-a}\\=\frac{bf(a)-af(b)}{b-a}$

なので

　 $F(a)=F(b)$

となります。 $F(x)$ は区間 $\left[a,b\right]$ で連続で、 $(a,b)$ で微分可能なのでロルの定理(定理19)より

　 $F^{\prime}(\xi)=0,a<\xi<b$

となる $\xi$ があります。

　 $\displaystyle F^{\prime}(\xi)=f^{\prime}(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$

なので

　 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

となり証明終了です。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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