平均値の定理の拡張
カテゴリ:微積分

平均値の定理を拡張した以下の定理を証明します。
定理21. 平均値の定理の拡張
区間において
は連続で、
で微分可能とする。すると
となるが存在する。ただし
(1) ,
(2)は区間内で同時に0にならない
と仮定する。
解説
この定理は次のように考えるとロルの定理と同じだということがわかります。
まず独立変数による
という曲線を考えます。点とします。
すると、線ABと傾きが同じになる点Pが存在することが右図よりわかると思います。
これより、この定理がロルの定理と根本的に同じであることが理解できます。
証明
とおきます。すると
となるので
が得られます。よってロルの定理より
となるが存在します。
もしならば、仮定(1)より
だから
となります。しかしこれは仮定(2)に反します。
よって、となります。
ゆえにで割って
が得られ証明終了です。
著者:安井 真人(やすい まさと)
@yasui_masatoさんをフォロー