導関数の連続性

カテゴリ：微積分

導関数は必ずしも連続とは限りません。例えば、

　 $\displaystyle f(x)=x^{2}\sin\frac{1}{x}$

の導関数について考えます。 $x\neq 0$ なら

　 $\displaystyle f^{\prime}(x)=2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}$

となります。 $x\to 0$ にすると $\pm 1$ を行ったり来たりするので収束しません。

$x=0$ のときは

　 $\displaystyle f^{\prime}(0)=\lim_{h\to 0}\frac{h^{2}\sin\frac{1}{h}-0}{h}=\lim_{h\to 0}h\sin\frac{1}{h}=0$

が得られます。

よって、

　 $\displaystyle \lim_{x\to 0}f^{\prime}(x)\neq f^{\prime}(0)$

となります。

ゆえに、導関数は必ずしも連続とはなりません。

ただし、以下の定理は成り立ちます。

定理23. $f(x)$ が連続な区間内の一点 $a$ は別として、 $a$ の近傍では $f(x)$ が微分可能で $\displaystyle \lim_{x\to a}f^{\prime}(x)=l$ が存在するならば、

　 $\displaystyle f^{\prime}(a)=l$

が成り立つ。

平均値の定理によって $x>a$ のとき

　 $\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\prime}(\xi)$

となる $\xi$ が $a<\xi<x$ で存在します。

よって $x\to a$ のとき $\xi\to a$ となります。

ゆえに仮定により

　 $\displaystyle f^{\prime}(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{\xi\to a}f^{\prime}(\xi)=l$

が成り立ちます。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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