導関数の連続性
カテゴリ:微積分
導関数は必ずしも連続とは限りません。例えば、
の導関数について考えます。なら
となります。にすると
を行ったり来たりするので収束しません。
のときは
が得られます。
よって、
となります。
ゆえに、導関数は必ずしも連続とはなりません。
ただし、以下の定理は成り立ちます。
定理23. が連続な区間内の一点
は別として、
の近傍では
が微分可能で
が存在するならば、
が成り立つ。
証明
平均値の定理によってのとき
となるが
で存在します。
よってのとき
となります。
ゆえに仮定により
が成り立ちます。
著者:安井 真人(やすい まさと)
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