偏微分

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はじめに一次元の微分について復習しましょう。

まず、関数 $f(x)$ の微分は

　 $\displaystyle\frac{df}{dx}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

でした。

この値は接線の傾きを意味するのでしたね。

そして、微分の際は

$x$ より大きい値から近づける
$x$ より小さい値から近づける

の二通りがありました。

たとえば、

　 $f(x)=x,x>0\\f(x)=0,x\geq0$

の場合は、正から近づけると

　 $\displaystyle\frac{df}{dx}(0)=1$

で、負から近づけると

　 $\displaystyle\frac{df}{dx}(0)=0$

となります。

このように

近づく方向によって、微分係数が異なります。

ですから、近づき方はとても重要なのです。

二次元での近づき方

一次元の場合は、大きい値か小さい値の二通りの近づき方がありました。

しかし、二次元の場合は無数の近づき方があります。

たとえば、原点に近づく方法にしても

のようにたくさんあります。

これが一次元と多次元の違いです。

偏微分

でもこうも多くの近づき方を調べていてもきりがありません。

そこで

基本的な近づき方をとりあえすおさえておこう

というのが偏微分の考え方です。

基本的な近づき方は何かというと、

二次元の場合は

$x$ 軸に平行な方向
$y$ 軸に平行な方向

です。すなわち、

一つの変数以外は固定して、微分するのが偏微分です。

関数 $f(x,y)$ の偏微分は以下のようになります。

　 $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{x\to h}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}\\\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{y\to h}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}$

単に、一つの変数だけに注目して微分するだけです。

これが偏微分です。

問題

関数

$f(x,y)=2x^{2}y^{3}$

において

(1) $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}$

(2) $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}$

(3) $\displaystyle\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}$

(4) $\displaystyle\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}$

を求めよ。

解答

(1)

　 $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\\=\frac{\partial}{\partial x}2x^{2}y^{3}\\=4xy^{3}$

(2)

　 $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\\=\frac{\partial}{\partial y}2x^{2}y^{3}\\=6x^{2}y^{2}$

(3)

　 $\displaystyle\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}\\=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)\\=\frac{\partial}{\partial x}4xy^{3}\\=4y^{3}$

(4)

　 $\displaystyle\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}\\=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)\\=\frac{\partial}{\partial x}6x^{2}y^{2}\\=12xy^{2}$

著者：安井真人(やすい　まさと)
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