多変数関数が微分可能かチェックする
カテゴリ:微積分
多変数関数が微分可能かチェックできる定理を紹介します。
ここでは2変数関数について考えていきます。
まず、2変数関数が微分可能であることの定義を復習します。
2変数関数が微分可能であるとは
と関数がかけることです。
ここで、は
のオーダーの関数を意味します。
たとえば、
といった関数です。
定理
ある領域においてが存在し、連続ならば、関数
はその領域で微分可能となる。
解説
定理を見ただけでは理解できないと思うので解説します。
例としてを考えてみましょう。
まず、偏微分すると
となります。これらの微分係数はすべてのxy領域で存在して連続なので、この定理から関数は微分可能となることがわかります。
よって、
で近似できることになります。
一方、だと
なので、で微分係数が存在しません。
よって、では微分可能であることは保障できません。
一方、では微分可能となります。
この定理は
偏微分するだけで微分可能かチェックできる便利な定理
です。しっかり身に着けておきましょう。
証明
となります。ここで平均値の定理を利用すると
となります。
ここでが連続であることを使うと
となり、のとき
となります。
よって、
が得られます。
これは、微分可能であることを示しています。
著者:安井 真人(やすい まさと)
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