テイラーの公式とテイラー展開

カテゴリ：微積分

関数を扱う際、

　 $f(x)=3x+1$

のように簡単な関数ならいいのですが

　 $f(x)=\sin x^{2}+\exp(-\cos x)$

のような難しい関数だと扱いづらいです。

そこで、

難しい関数を簡単な一次関数や二次関数といったべき関数で近似しよう

というのがテイラー展開の考え方です。

テイラー展開の前にテイラーの公式を証明します。

テイラーの公式

定理

ある区間において $f(x)$ はn階まで微分可能とします。そして、 $x,a$ をそれぞれ任意の点と定点とします。すると

　 $\displaystyle f(x)=f(a)+(x-a)\frac{f^{\prime}(a)}{1!}+(x-a)^{2}\frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}+\cdots+(x-a)^{n-1}\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}+(x-a)^{n}\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}$

となります。ここで

　 $\xi=a+\theta(x-a),0<\theta<1$

とします。

解説

ためしに $f(x)=\sin x$ でやってみましょう。

そして

　 $a=0,n=2$

とします。すると定理によると

　 $f(0)=0,\\f^{\prime}(0)=\cos 0=1,\\f^{\prime\prime}(x)=-\sin x$

なので

　 $\displaystyle f(x)=\sin x=x-x^{2}\frac{\sin \xi}{2}$

となります。ここで

　 $0<\xi<x$

です。

実際に成り立つか $x=1$ で確かめてみましょう。

まず

　 $\sin 1=0.84147\cdots$

で

　 $\displaystyle 1-1^{2}\frac{\sin\xi}{2}=1-\frac{\sin\xi}{2}$

となります。これらが等しくなるような $0<\xi<1$ があれば定理と一致します。そこでグラフを書くと

となり、まじりあっているので

　 $\xi=0.32$

あたりで

　 $\displaystyle\sin 1=1-\frac{\sin\xi}{2}$

が成り立ちます。

証明

はじめに

　 $\displaystyle F(x)=f(x)-\{f(a)+(x-a)\frac{f^{\prime}(a)}{1!}+\cdots+(x-a)^{n-1}\frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}\}$

とおきます。すると

　 $\displaystyle F(a)=F^{\prime}(a)=\cdots=F^{(n-1)}(a)=0,\\F^{(n)}(x)=f^{(n)}(x)$

となります。

そして、平均値の定理の拡張定理で $F(x),G(x)=(x-a)^{n}$ とすれば

　 $\displaystyle\frac{F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)}=\frac{F(x)}{(x-a)^{n}}=\frac{F^{\prime}(\xi_{1})}{n(\xi_{1}-a)^{n-1}}$

となります。ここで、 $\xi_{1}$ は $x,a$ の中間の値です。

同様にして $F^{\prime}(a)=0,G^{\prime}(a)=0$ なので

　 $\displaystyle\frac{F^{\prime}(\xi_{1})}{n(\xi_{1}-a)^{n-1}}=\frac{F^{\prime\prime}(\xi_{2})}{n(n-1)(\xi_{2}-a)^{n-2}}$

が得られます。

これをずっと繰り返すと最終的に

　 $\displaystyle\frac{F(x)}{(x-a)^{n}}=\frac{F^{(n)}(\xi)}{n!}=\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}$

となります。

ここで $\xi$ は $a,x$ の間の値です。

これを変形すると

　 $\displaystyle F(x)=(x-a)^{n}\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}$

となります。以上で証明終了です。

テイラーの定理

ではいよいよテイラー展開に関する定理を証明します。

定理

$x=a$ を含む区間において、 $f(x)$ が第n-1階まで微分可能とします。

このとき、点 $a$ において、 $f^{(n)}(a)$ が存在するなら

　 $\displaystyle f(x)=f(a)+(x-a)\frac{f^{\prime}(a)}{1!}+(x-a)^{2}\frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}+\cdots+(x-a)^{n}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}+O((x-a)^{n+1})$

となります。

証明

前回の定理と同様にすれば

　 $\displaystyle\frac{F(x)}{(x-a)^{n}}=\frac{F^{(n-1)}(\xi)}{n!(\xi-a)}$

が得られます。ここで、 $\xi$ は $a,x$ の間の数です。

ここで $x\to a$ にすると $\xi\to a$ なので

　 $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{F(x)}{(x-a)^{n}}=\lim_{x\to a}\frac{F^{(n-1)}(\xi)}{n!(\xi-a)}=\lim_{x\to a}\frac{F^{(n-1)}(\xi)-F^{(n-1)}(a)}{n!(\xi-a)}=F^{(n)}(a)=f^{(n)}(a)$

となります。これを言い換えると

　 $\displaystyle F(x)=(x-a)^{n}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}+O((x-a)^{n+1})$

が得られます。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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