積分の線形性

カテゴリ：微積分

積分の性質の一つである線形性を証明します。

定理

積分可能な関数 $f,g$ があります。このとき、有界閉区間 $I$ において

$\int_{I}(f+g)=\int_{I}f+\int_{I}g\\\int_{I}cf=c\int_{I}f$

が成り立ちます。

証明

$I$ を任意に分割し、分割を $\Delta$ とおきます。

そして、分割 $\Delta$ の領域 $I_{k}$ の点を $\xi_{k}\in I_{k}$ とおきます。すると

$s(f+g;\Delta;\xi)\\=\sum_{k}(f(\xi_{k})+g(\xi_{k}))v(I_{k})\\=\sum_{k}f(\xi_{k})v(I_{k})+\sum_{k}g(\xi_{k})v(I_{k})\\=s(f;\Delta;\xi)+s(g;\Delta;\xi)$ ,

$s(cf;\Delta;\xi)\\=\sum_{k}cf(\xi_{k})v(I_{k})\\=c\sum_{k}f(\xi_{k})v(I_{k})\\=cs(f;\Delta;\xi)$

が成り立ちます。

$f,g$ は積分可能なので

$\int_{I}(f+g)=\int_{I}f+\int_{I}g\\\int_{I}cf=c\int_{I}f$

が成り立ちます。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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