積分の単調性

カテゴリ：微積分

積分の線形性に引き続き、積分の単調性について解説します。

積分の単調性とは以下の定理のことをいいます。

関数 $f,g$ が領域 $I$ 上で積分可能で

$f(x)\leq g(x)$

が $I$ 上のすべての点で成り立つならば、

$\displaystyle\int_{I}f\geq\int_{I}g$

が成り立ちます。

任意に $I$ を分割します。

そして、分割した $I_{k}$ 上の任意の点を $\xi\in I_{k}$ とします。

すると仮定から

$\displaystyle s(f;\Delta;\xi)=\sum_{k}f(\xi_{k})v(I_{k})\leq\sum_{k}g(\xi_{k})v(I_{k})=s(g;\Delta;\xi)$

が成り立ちます。よって

$max(I_{k})\to0$

とすれば、

$\displaystyle\int_{I}f\geq\int_{I}g$

が得られます。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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