2次元の行列式

カテゴリ：線形代数

2次元の行列式を説明します。

3次元、4次元とあるのですが、とりあえず2次元だけでもおさえておきましょう。

行列式

いきなりですが行列式を以下のように定義します。

行列式

行列

　 $A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)$

の行列式を $ad-bc$ と定義し、

　 $|A|,\det A,\left|\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right|$

とかく。また、

　 $\textbf{\emph{x}}=\left(\begin{array}{c}a\\c\end{array}\right),\textbf{\emph{y}}=\left(\begin{array}{c}b\\d\end{array}\right)$

とした場合、 $\det (\textbf{\emph{x}},\textbf{\emph{y}})$ とかく場合もある。

「なんでこうやって定義するの？」

と聞かれたら、このように定義すると何かと便利だからです(逆行列、クラメールの公式など)。もちろん

　 $|A|=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}$

でもいいのですが、この値はあまり出てこない。出てこない値よりも出てくる値を定義したほうがいいですよね。この行列式はいわば「行列の絶対値」なのですが、負の数も取りうることに注意しましょう。

行列式に関する定理

いくつか行列式に関する定理を紹介します。

その1

　 $\det(\textbf{\emph{x}},\textbf{\emph{y}})=-\det(\textbf{\emph{y}},\textbf{\emph{x}})$

　 $\det(\textbf{\emph{x}},\textbf{\emph{y}})\\=ad-bc\\=-(bc-da)\\=\det(\textbf{\emph{y}},\textbf{\emph{x}})$

その2

　 $\det(\textbf{\emph{x}}_{1}+\textbf{\emph{x}}_{2},\textbf{\emph{y}})=\det(\textbf{\emph{x}}_{1},\textbf{\emph{y}})+\det(\textbf{\emph{x}}_{2},\textbf{\emph{y}})$

　 $\det(\textbf{\emph{x}}_{1}+\textbf{\emph{x}}_{2},\textbf{\emph{y}})\\=(a_{1}+a_{2})d-b(c_{1}+c_{2})\\=(a_{1}d-bc_{1})+(a_{2}d-bc_{2})\\=\det(\textbf{\emph{x}}_{1},\textbf{\emph{y}})+\det(\textbf{\emph{x}}_{2},\textbf{\emph{y}})$