単位行列

カテゴリ：線形代数

実数に１があるように、行列にも１があります。ここでは行列における１である単位行列について解説します。

単位行列

「1」という数は不思議な数で、実数 $a$ に対して

　 $a\times 1=a$

が成り立ちます。つまり、1はいくらかけても値が変化しないのです。これと同じように

2☓2の行列 $A$ に対して、掛け算しても変わらない行列 $I$ はあるでしょうか？

では、ちょっと考えてみましょう。まず、

　 $A=\left[ \begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right],\\I=\left[ \begin{array}{cc}e&f\\g&h\end{array}\right]$

という行列があったとします。両者をかけると

　 $AI=\left[ \begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]\left[ \begin{array}{cc}e&f\\g&h\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}ae+bg&af+bh\\ce+dg&cf+dh\end{array}\right]$

となります。これが変わらず $A$ にならないといけないので

　 $\left[ \begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}ae+bg&af+bh\\ce+dg&cf+dh\end{array}\right]$

となる必要があります。これが任意の実数 $a,b,c,d$ で成り立つ必要があるので

　 $I=\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

が得られます。また、この行列の定義から

　 $AI=IA=A$

が成り立つことがわかります。よって、実数における１は行列では $I$ となり、これを単位行列と呼びます。ちなみに３次の単位行列は

　 $I=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$

となります。４次以降の同様に右下に１が並びます。つまり

単位行列

$n$ 次元の単位行列 $I$ とは

　 $I=\left[\begin{array}{ccccc}1&0&0&\cdots&0\\0&1&0&\cdots&0\\0&0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&1\end{array}\right]$

である。

が単位行列の定義となります。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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