ベクトル空間の例

カテゴリ：線形代数

前回ベクトル空間について解説しました。

今一度、ベクトル空間の定義を確認してください。

ベクトル空間

集合 $\mathbf{V}$ を考える。そして、この集合の元を

　 $\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}\in\mathbf{V}$

とする。集合 $\mathbf{V}$ がベクトル空間であるとは以下の２つが成り立つことをいう。

【ベクトル空間の条件１】

$(\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z}=\mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{z})$
$\mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{y}+\mathbf{x}$
零ベクトルと呼ばれる特別な元 $\mathbf{o}$ がただひとつ存在して、 $\mathbf{V}$ のすべての元 $\mathbf{x}$ に対して $\mathbf{o}+\mathbf{x}=\mathbf{x}$ が成り立つ。
$\mathbf{V}$ の任意の元 $\mathbf{x}$ に対して、 $\mathbf{x}+(-\mathbf{x})=\mathbf{o}$ となる元 $-\mathbf{x}$ が存在する

が成り立つ。

【ベクトル空間の条件２】

さらに、 $\mathbf{V}$ の任意の実数 $\alpha$ に対して、 $\mathbf{x}$ の $\alpha$ 倍と呼ばれる $\mathbf{V}$ の元 $\alpha\mathbf{x}$ が存在し

$(a+b)\mathbf{x}=a\mathbf{x}+b\mathbf{x}$
$a(\mathbf{x}+\mathbf{y})=a\mathbf{x}+a\mathbf{y}$
$(ab)\mathbf{x}=a(b\mathbf{x})$
$1\mathbf{x}=\mathbf{x}$

が成り立つ。

今回は、この定義にあう例を紹介します。

ベクトル空間の例(原点を通る直線上の点)

$A=\{(x,y)|y=2x\}$ という集合はベクトル空間です。

ベクトルの和

定義にしたがって確認していきます。

まずはベクトルの和を $\mathbf{x_{1}}=(x_{1},y_{1}),\mathbf{x_{2}}=(x_{2},y_{2})$ に対して

　 $\mathbf{x_{1}}+\mathbf{x_{2}}=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})$

とします。この点は $A$ の元となります。

実際に、任意の点 $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})$ において

　 $y_{1}=2x_{1},y_{2}=2x_{2}$

が成り立つので、

　 $y_{1}+y_{2}=2(x_{1}+x_{2})$

となります。よって、

　 $(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})\in A$

がいえます。さらに、 $\mathbf{x_{1}}=(x_{1},y_{1}),\mathbf{x_{2}}=(x_{2},y_{2}),\mathbf{x_{3}}=(x_{3},y_{3})\in A$ に対して

　 $(\mathbf{x_{1}}+\mathbf{x_{2}})+\mathbf{x_{3}}\\=((x_{1}+x_{2})+x_{3},(y_{1}+y_{2})+y_{3})\\=(x_{1}+(x_{2}+x_{3}),y_{1}+(y_{2}+y_{3}))\\=\mathbf{x_{1}}+(\mathbf{x_{2}}+\mathbf{x_{3}})$ ,

　 $\mathbf{x_{1}}+\mathbf{x_{2}}\\=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})\\=(x_{2}+x_{1},y_{2}+y_{1})\\=\mathbf{x_{2}}+\mathbf{x_{1}}$

が成り立ちます。そして、零元も $\mathbf{0}=(0,0)$ とすれば、任意の $\mathbf{x}=(x,y)\in A$ に対して

　 $\mathbf{x}+\mathbf{0}=(x+0,y+0)=(x,y)=\mathbf{x}$

となります。逆元に対しても、 $\mathbf{x}=(x,y)\in A$ に対して、 $-\mathbf{x}=(-x,-y)$ とすれば

　 $\mathbf{x}+(-\mathbf{x})=(x+(-x),y+(-y))=(0,0)=\mathbf{0}$

がなりたちます。逆元は任意の元に対して存在します。

スカラー倍

とりあえずここまでで、前半であとベクトル空間というにはスカラー倍のことについてのべる必要があります。

$\alpha$ のスカラー倍を $\mathbf{x}=(x,y)$ に対して

　 $\alpha\mathbf{x}=(\alpha x,\alpha y)$

とします。すると、

　 $y=2x$

が成り立つので

　 $\alpha y=2\alpha x$

も成り立ちます。ですから

　 $\alpha \mathbf{x}\in A$

となることがわかります。

そして、 $\mathbf{x_{1}}=(x_{1},y_{1}),\mathbf{x_{2}}=(x_{2},y_{2})\in A$ 、実数 $\alpha,\beta$ に対して

　 $(\alpha+\beta)\mathbf{x_{1}}\\=((\alpha+\beta)x_{1},(\alpha+\beta)y_{1})\\=(\alpha x_{1}+\beta x_{1},\alpha y_{1}+\beta y_{1})\\=(\alpha x_{1},\alpha y_{1})+(\beta x_{1},\beta y_{1})\\=\alpha \mathbf{x_{1}}+\beta \mathbf{x_{1}}$ 、

　 $\alpha(\mathbf{x_{1}}+\mathbf{x_{2}})\\=(\alpha(x_{1}+x_{2}),\alpha(y_{1}+y_{2}))\\=(\alpha x_{1}+\alpha x_{2},\alpha y_{1}+\alpha y_{2})\\=(\alpha x_{1},\alpha y_{1})+(\alpha x_{2},\alpha y_{2})\\=\alpha\mathbf{x_{1}}+\alpha\mathbf{x_{2}}$ 、