ベクトル空間でない例

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前回、y=2x上の点の集合に

和：(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}),

スカラー倍：a(x_{1},y_{1})=(ax_{1},ay_{1})

を入れるとベクトル関数になることを紹介しました。

今回はベクトル空間でない例を紹介します。

以下にベクトル空間の定義をのせておきます。

ベクトル空間

集合\mathbf{V}を考える。そして、この集合の元を

　\mathbf{x},\mathbf{y},\mathbf{z}\in\mathbf{V}

とする。集合\mathbf{V}がベクトル空間であるとは以下の２つが成り立つことをいう。

【ベクトル空間の条件１】

  1. (\mathbf{x}+\mathbf{y})+\mathbf{z}=\mathbf{x}+(\mathbf{y}+\mathbf{z})
  2. \mathbf{x}+\mathbf{y}=\mathbf{y}+\mathbf{x}
  3. 零ベクトルと呼ばれる特別な元\mathbf{o}がただひとつ存在して、\mathbf{V}のすべての元\mathbf{x}に対して\mathbf{o}+\mathbf{x}=\mathbf{x}が成り立つ。
  4. \mathbf{V}の任意の元\mathbf{x}に対して、\mathbf{x}+(-\mathbf{x})=\mathbf{o}となる元-\mathbf{x}が存在する

が成り立つ。

【ベクトル空間の条件２】

さらに、\mathbf{V}の任意の実数\alphaに対して、 \mathbf{x}の\alpha倍と呼ばれる\mathbf{V}の 元\alpha\mathbf{x}が存在し

  1. (a+b)\mathbf{x}=a\mathbf{x}+b\mathbf{x}
  2. a(\mathbf{x}+\mathbf{y})=a\mathbf{x}+a\mathbf{y}
  3. (ab)\mathbf{x}=a(b\mathbf{x})
  4. 1\mathbf{x}=\mathbf{x}

が成り立つ。

ベクトル空間でない集合

y=x+1上の点の集合に

和：(x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2}),

スカラー倍：a(x_{1},y_{1})=(ax_{1},ay_{1})

をいれたものはベクトル空間でない。

確かめるのは簡単です。

例えば、(1,2),(2,3)は先程のべた集合に属します。しかし、その和

　(1,2)+(2,3)=(3,5)

はy=5,x+1=4なのでy=x+1は成り立ちません。

ですから、上に述べた集合はベクトル空間とはならないのです。

y=x^{2}上の点に和とスカラー倍をいれてもベクトル空間ではありません。

これも確かめてみてください。

著者：安井 真人(やすい　まさと)

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