線形従属と線形独立

２次元平面を表現する際、座標という概念を使っていました。

例えば、

　 $(2,3)$

といった感じですね。

これをベクトル

　 $\mathbf{e_{1}}=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right),\mathbf{e_{2}}=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)$

で書けば

　 $(2,3)=2\mathbf{e_{1}}+3\mathbf{e_{2}}$

となります。

これは、ベクトル $\mathbf{e_{1}},\mathbf{e_{2}}$ だけで2次元平面全体を

　 $a\mathbf{e_{1}}+b\mathbf{e_{2}}$

と書き表すことができます。

座標の概念をベクトル空間へ導入するのがねらいです。

適当にベクトルを２つ選べば2次元平面全体を表現できるのでしょうか？

そうではありません。例えば、

　 $\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\0\end{array}\right)$

なら2次元平面全体を表現できません。

要するに、平行なベクトルを選んではいけないということです。

つまり、ベクトル $\mathbf{x_{1}},\mathbf{x_{2}}$ に対して

　 $\mathbf{x_{1}}=a\mathbf{x_{2}}$

が成り立つような $a$ がある場合はだめということです。

このことは

　 $a\mathbf{x_{1}}+b\mathbf{x_{2}}=\mathbf{0}$

で $a=b=0$ 以外で、この式が成り立つ $a,b$ が存在してはだめと言い換えることができます。

最後に用語を説明して終わります。

線形結合と従属

　 $a\mathbf{x_{1}}+b\mathbf{x_{2}}$

をベクトル $\mathbf{x_{1}},\mathbf{x_{2}}$ の線形結合という。

そして、

　 $a\mathbf{x_{1}}+b\mathbf{x_{2}}=\mathbf{0}$

が $a=b=0$ 以外で成り立つ $a,b$ が存在するとき, $\mathbf{x_{1}},\mathbf{x_{2}}$ は線形従属であるという。

線形従属でない場合、 $\mathbf{x_{1}},\mathbf{x_{2}}$ は線形独立であるという。

よって、線形独立なベクトルを選べば２次元平面を表すことができるということです。

著者：安井真人(やすい　まさと)
@yasui_masatoさんをフォロー