有限・無限次元のベクトル空間

カテゴリ：線形代数

ベクトル空間の次元が有限かどうかについて考えます。

はじめに、有限・無限次元のベクトル空間の定義を紹介します。

有限次元と無限次元

ベクトル空間 $\mathbf{V}$ の任意のベクトルが、 $\mathbf{V}$ の有限個の線形結合で表されるとき、 $\mathbf{V}$ は有限次元であるといいます。

有限次元でない場合には、 $\mathbf{V}$ は無限次元であるといいます。

有限次元の例としては、平面上のベクトルがあげられます。

平面上のベクトルはすべて

　 $\mathbf{e}_{1}=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right),\mathbf{e}_{2}=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)$

の線形結合

　 $c_{1}\mathbf{e}_{1}+c_{2}\mathbf{e}_{2}=\left(\begin{array}{c}c_{1}\\c_{2}\end{array}\right)$

で表すことができます。よって、平面上のベクトルの集合は有限次元なベクトル空間です。

連続関数全体の集合は無限次元のベクトル空間です。

このことを証明してみましょう。

【ベクトル空間であること】

ベクトル空間であることを証明します。

ベクトル空間って何？という方は

を読んで定義を復習しましょう。

関数 $f(x),g(x)$ の足し算とスカラー倍を

　 $(f+g)(x)=f(x)+g(x),\\(af)(x)=af(x)$

とします。すると、

結合法則： $((f+g)+h)(x)=(f+g)(x)+h(x)=f(x)+g(x)+h(x)=f(x)+(g+h)(x)=(f+(g+h))(x)$

交換法則： $(f+g)(x)=f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=(g+f)(x)$

が成り立ちます。また、零ベクトルもすべての $x$ で

　 $o(x)=0$

となる関数すれば、すべての関数 $f(x)$ に対して

　 $(o+f)(x)=0+f(x)=f(x)$

が成り立ちます。 $f(x)$ の逆ベクトルも $-f(x)$ とすればいいことがわかります。

さらにスカラー倍に関しても

　 $((a+b)f)(x)=(a+b)f(x)=af(x)+bf(x)=(af+bf)(x)$

　 $(a(f+g))(x)=a(f+g)(x)=a(f(x)+g(x))=af(x)+ag(x)=(af+ag)(x)$

　 $((ab)f)(x)=(ab)f(x)=a(bf(x))=(a(bf))(x)$

　 $(1f)(x)=1f(x)=f(x)$

が成り立ちます。よって、連続関数全体の集合はベクトル空間となります。

【無限次元であること】

実際に、 $1,x,x^{2},\cdots$ は線形独立です。

よって、無限次元となります。

著者：安井真人(やすい　まさと)
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