線形空間における基底

平面ベクトルにおいては

　 $\mathbf{e}_{1}=\left(\begin{array}{c}1\\0\end{array}\right),\\\mathbf{e}_{2}=\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right)$

を使えば、すべての平面ベクトルを線形結合

　 $c_{1}\mathbf{e}_{1}+c_{2}\mathbf{e}_{2}$

で表現できます。もちろん、 $\mathbf{e}_{1},\mathbf{e}_{2}$ でなくても

　 $\mathbf{a}_{1}=\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right),\\\mathbf{a}_{2}=\left(\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right)$

としても

　 $c_{1}\mathbf{a}_{1}+c_{2}\mathbf{a}_{2}$

で平面ベクトルを表現できます。ただし、

　 $\mathbf{b}_{1}=\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right),\\\mathbf{b}_{2}=\left(\begin{array}{c}2\\2\end{array}\right)$

の場合は、線形結合

　 $c_{1}\mathbf{b}_{1}+c_{2}\mathbf{b}_{2}$

ではすべての平面ベクトルを表現できません。例えば、 $(0,1)$ は表現できません。

つまり、線形独立なベクトル(平行でないベクトル)を２つ選べばいいわけですね。

以上のことを線形空間で定義すると以下のようになります。

基底の定義

線形空間 $\mathbf{V}$ の有限個のベクトル $\mathbf{e}_{1},\mathbf{e}_{2},\cdots,\mathbf{e}_{n}$ が

$\mathbf{e}_{1},\mathbf{e}_{2},\cdots,\mathbf{e}_{n}$ が線形独立
$\mathbf{V}$ の任意のベクトルが、 $\mathbf{e}_{1},\mathbf{e}_{2},\cdots,\mathbf{e}_{n}$ の線形結合で表せる

を満たすとき、 $\mathbf{e}_{1},\mathbf{e}_{2},\cdots,\mathbf{e}_{n}$ は $\mathbf{V}$ の基底であるといいます。

これで、線形空間に座標軸のようなものが埋め込まれたわけです。

平面ベクトルと対応づけて考えれば当たり前のことですね。

しっかり、定義を理解しておきましょう。

著者：安井真人(やすい　まさと)
@yasui_masatoさんをフォロー