線形写像と同型写像

カテゴリ：線形代数

ベクトルの関数のひとつである線形写像という特殊な写像について解説します。

写像について知らないかたは以下の記事を参照してください。

>>写像についての記事

線形写像

線形空間 $\mathbf{V}$ から線形空間 $\mathbf{V^{\prime}}$ への写像 $T$ が

　 $T(\mathbf{x}+\mathbf{y})=T\mathbf{x}+T\mathbf{y}$

　 $T(a\mathbf{x})=aT\mathbf{x}$

を満たすとき、 $T$ を $\mathbf{V}$ から $\mathbf{V^{\prime}}$ への線形写像といいます。

線形写像の例

では線形写像の例をみていきましょう。

はじめに、線形空間のひとつである

　 $\displaystyle\frac{dy}{dx}+2y=0$

の解全体の集合 $\mathbf{A}$ を考えます。ちなみに、これが線形空間であることは、この方程式の解が $y_{1},y_{2},y_{3}$ とした際、 $y_{1}+y_{2}$ や $ay_{1}$ も解になります。

　 $\displaystyle\frac{d(y_{1}+y_{2})}{dx}+2(y_{1}+y_{2})=\frac{dy_{1}}{dx}+2y_{1}+\frac{dy_{2}}{dx}+2y_{2}=0+0=0$

　 $\displaystyle\frac{d(ay_{1})}{dx}+2(ay_{1})=a(\frac{dy_{1}}{dx}+2y_{1})=a0=0$

また、

結合法則： $(y_{1}(x)+y_{2}(x))+y_{3}(x)=y_{1}(x)+(y_{2}(x)+y_{3}(x))$ ,

交換法則： $y_{1}(x)+y_{2}(x)=y_{2}(x)+y_{1}(x)$

　 $(a+b)y_{1}=ay_{1}+by_{1}$

　 $a(y_{1}+y_{2})=ay_{1}+ay_{2}$

　 $(ab)y_{1}=a(by_{1})$

　 $1y_{1}=y_{1}$

が成り立ち、零ベクトル $o(x)=0$ や $y_{1}$ の逆ベクトル $-y_{1}$ も存在します。よって、線形空間となります。そして、方程式の解は

　 $\displaystyle\frac{dy}{dx}=-2y\Leftrightarrow \frac{dy}{y}=-2dx\Leftrightarrow \ln y=-2x+C\Leftrightarrow y(x)=A\exp(-2x)$

となります。

線形写像の例を示したいので、もう一つ線形空間を用意します。

その線形空間は実数の集合 $\mathbf{R}$ です。実数の集合は線形空間になるので、一度自力で証明してみてください。

では、線形写像の例をあげます。それは

　 $F:\mathbf{A}\rightarrow \mathbf{R}:y(x)=A\exp(-2x)\rightarrow A$

という写像 $F$ です。実際に、 $A_{1}\exp(-2x),A_{2}\exp(-2x)$ に対して

　 $F(A_{1}\exp(-2x)+A_{2}\exp(-2x))\\=F((A_{1}+A_{2})\exp(-2x))\\=A_{1}+A_{2}\\=F(A_{1}\exp(-2x))+F(A_{2}\exp(-2x))$

　 $F(a(A_{1}\exp(-2x)))\\=F((aA_{1})\exp(-2x))\\=aA_{1}\exp(-2x)\\=aF(A_{1}\exp(-2x))$

がなりたつことがわかります。

よって、写像 $F$ は線形写像となります。

同型写像

$\mathbf{V}$ から $\mathbf{V^{\prime}}$ への線形写像 $T$ が全単射であるとき $T$ は $\mathbf{V}$ から $\mathbf{V^{\prime}}$ への同型写像といいます。そして、 $\mathbf{V}$ と $\mathbf{V^{\prime}}$ は同型対応であるといいます。

まず、全単射の意味がわからないかたは以下の記事を参照してください。

>>全単射の解説記事

線形写像の例で述べた写像 $F$ は同型写像です。まず、全射であることは

　 $T(\mathbf{A})\supseteq \mathbf{R}$