線形部分空間

線形部分空間とは、線形空間の部分集合が線形空間になっている場合をいいます。

ここでは、線形部分空間を定義して、線型部分空間の例を見ていきます。

線形部分空間

$\mathbf{K}$ 上の線形空間 $\mathbf{V}$ の部分集合 $\mathbf{W}$ が同じ演算において $\mathbf{K}$ 上の線形空間になるとき、 $\mathbf{W}$ を $\mathbf{V}$ の線形部分空間といいます。

３次元ベクトルの集合を考えましょう。３次元ベクトルの集合は線形空間です。

２次元ベクトルの集合は、３次元ベクトルの部分集合です。

また、２次元ベクトルは線形空間です。

よって、２次元ベクトルの集合は３次元ベクトル集合の線形部分空間となります。

線形部分空間

線形空間 $\mathbf{V}$ の部分集合 $\mathbf{W}$ が線形部分空間となるには

　 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in \mathbf{W}\Rightarrow\mathbf{x}+\mathbf{y}\in\mathbf{W}\\\mathbf{x}\in\mathbf{W},a\in\mathbf{K}\Rightarrow a\mathbf{x}\in\mathbf{W}$

で必要十分です。

この定理を使えば、線形部分空間であることを簡単に証明できます。

とても便利な定理です。

まず、 $\mathbf{W}$ が $\mathbf{V}$ の線形部分空間なら、 $\mathbf{W}$ は線形空間なので、

　 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in \mathbf{W}\Rightarrow\mathbf{x}+\mathbf{y}\in\mathbf{W}\\\mathbf{x}\in\mathbf{W},a\in\mathbf{R}\Rightarrow a\mathbf{x}\in\mathbf{W}$

が成り立ちます。

次に、 $\mathbf{W}$ が線形空間 $\mathbf{V}$ の部分集合とし

　 $\mathbf{x},\mathbf{y}\in \mathbf{W}\Rightarrow\mathbf{x}+\mathbf{y}\in\mathbf{W}\\\mathbf{x}\in\mathbf{W},a\in\mathbf{R}\Rightarrow a\mathbf{x}\in\mathbf{W}$

が成り立つ場合を考えます。ベクトルの結合法則や交換法則、スカラー倍の法則は、 $\mathbf{W}$ が線形空間 $\mathbf{V}$ の部分集合であることから成り立ちます。

ですから、零ベクトルと逆ベクトルの存在を言えば、 $\mathbf{W}$ は線形空間であることを証明できます。

零ベクトルの存在は

　 $\mathbf{x}\in\mathbf{W},0\in\mathbf{R}\Rightarrow 0\mathbf{x}\in\mathbf{W}$