まれな現象はポアソン分布

カテゴリ：確率・統計学

交通事故は連日のように起きています。

そこで興味！？がでてくるのは

一日に起こる交通事故の件数はどのような分布になるか？

ということです。知っているからといって、たいして役に立ちませんが、調べてみましょう。

まず、 $n$ 人のひとがいるとします。

そして、それぞれの人が交通事故に一日にあう確率を $p$ とします。すると、彼らは一日当たりおこす交通事故の件数が $k$ になる確率は、二項分布

　 $_{n}C_{k}p^{k}(n-k)^{n-k}$

になります。というのも、確率 $p$ で表がでるコインを $n$ 回投げて表が出る回数と同じだからです。

以上のことから、交通事故の分布は二項分布になりそうです。そして、平均は

　 $\mu=np$

分散は

　 $\sigma=np(1-p)$

となります。

ポアソン分布を二項分布から導く

交通事故が起こる確率 $p$ はとても引くと考えることができます。

そこで、 $p\rightarrow 0$ とします。

しかし、この極限を考えると

　 $\mu=np\rightarrow 0$

となってしまいます。そこで、

　 $\mu=const$

となるように、 $n$ も連動して増加するとします。すると

　 $\displaystyle B(n,p)=\frac{n!}{k!(n-k)!}p^{n}(1-p)^{n-k}\\=\frac{n(n-1)\dots(n-k+1)}{k!}p^{k}(1-p)^{n-k}\\=\frac{(np)^{k}}{k!}\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\left(1-\frac{np}{n}\right)^{n(1-k/n)}$